Afgeleide functies

Afgeleide functies > Totaalbeeld

Overzicht

1234567Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 11

Met domein $ℝ$ zijn gegeven de functies: $f (x) = (x^{2} - 4) (2 x + 1)$ en $g (x) = x^{2} - 4$ .

Bepaal algebraïsch de karakteristieken van de grafiek van $f$ .

Los op: $f (x) > g (x)$ .

De lijn met de vergelijking $x = p$ , met $-2 < p < 0$ , snijdt de grafiek van $f$ in $A$ en de grafiek van $g$ in $B$ . Bereken de waarden van $p$ waarvoor de oppervlakte van driehoek $O A B$ gelijk is aan $3$ .

Door $O$ gaat een lijn die de grafiek van $f$ raakt. Stel een vergelijking van die lijn op. Geef een benadering in twee decimalen nauwkeurig.

(bron: examen wiskunde B vwo 1996, eerste tijdvak, aangepast)

Opgave 12Tennis

Tennis

Bij sporten als volleybal en tennis is de service erg belangrijk, dat wil zeggen de manier waarop de bal in het spel gebracht wordt. We bekijken hier de service bij tennis. De speler staat bij het serveren $12$ meter van het net. Het net is $1$ meter hoog. We nemen aan dat de speler de bal raakt op een hoogte van $2,5$ meter boven de grond en ter vereenvoudiging gaan we er van uit dat de speler de bal precies in de lengterichting van het veld slaat. In de eerste figuur zie je een mogelijke baan van de bal.

De hoogte van de onderkant van de bal in meter ten opzichte van de grond noemen we $h$ . De horizontale afstand in meter noemen we $a$ . Het verband tussen $h$ en $a$ hangt af van de snelheid waarmee de bal geslagen wordt en van de beginrichting. Deze beginrichting wordt bepaald door de slaghoek. Dit is de hoek waaronder de bal geslagen wordt. Zie eerste figuur.

Neem aan dat de bal onder een hoek van 15° geslagen wordt met een snelheid van $v$ m/s. Bij deze hoek geldt bij benadering het volgende verband tussen $a$ en $h$ :
$h = \frac{-5,36}{v^{2}} a^{2} + 0,27 a + 2,50$
Een speler slaat de bal met een snelheid van $17$ m/s. Bereken met behulp van differentiëren de grootste hoogte boven de grond die deze bal bereikt.

In deze vereenvoudigde situatie spreken we van een geldige service als:

de speler die serveert $12$ meter van het net staat;
de bal precies in de lengterichting van het veld geslagen wordt;
de bal over het net gaat zonder dit te raken;
de bal neerkomt op een afstand van ten hoogste $7$ meter voorbij het net.

In een artikel over dit onderwerp stond deze grafiek. Daarin is weergegeven bij welke combinaties van slaghoek en snelheid een geldige service verkregenwordt. Een speler die de bal slaat onder een hoek van $30$ ° moet volgens deze grafiek de bal slaan met een snelheid van ongeveer $11$ tot $13$ m/s. Slaat hij te zacht dan komt de bal niet over het net. Slaat hij te hard dan komt de bal te ver voorbij het net op de grond. Een profspeler slaat bij een geldige service de bal met een snelheid van $150$ km/h.

Bepaal met behulp van de grafiek de beginrichting van een mogelijke baan van deze bal.

Neem nu aan dat de bal onder een hoek van 10° geslagen wordt. Bij deze hoek geldt bij benadering de volgende formule voor het verband tussen $a$ en $h$ :
$h = \frac{-5,16}{v^{2}} a^{2} + 0,18 a + 2,50$
Voor een geldige service moet de bal over het net gaan zonder dit te raken. De snelheid is te laag als in bovenstaande formule bij afstand $a = 12$ de hoogte $h \leq 1$ is. Volgens de grafiek is een snelheid van $16$ m/s of minder te laag voor een geldige service. Echter, met behulp van een berekening is na te gaan dat de figuur hier erg onnauwkeurig is getekend.

Welke snelheden (in m/s) zijn volgens de formule te laag voor een geldige service? Geef je antwoord in ten minste één decimaal nauwkeurig.

Voor een geldige service moet de bal bovendien ten hoogste $7$ meter voorbij het net de grond raken. Uit deze eis volgt ook een voorwaarde voor $v$ .

Welke getallen moet je in de bovenstaande formule invullen om deze voorwaarde te krijgen? Licht je antwoord toe.

verder | terug