Differentieerregels

Differentieerregels > Differentieerregels

1234567Differentieerregels

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x {(60 - x)}^{2}$ .
Bereken algebraïsch de extremen van $f$ en het buigpunt van de grafiek van $f$ .

> antwoord

Je ziet een nette grafiek van $f$ . Er lijken twee extremen en één buigpunt te zijn. Zeker weet je dat pas na differentiëren.
Om de afgeleide te kunnen bepalen moeten eerst de haakjes worden uitgewerkt:
$f (x) = x {(60 - x)}^{2} = 3600 x - 120 x^{2} + x^{3}$ .

De afgeleide is dan: $f' (x) = 3600 - 240 x + 3 x^{2}$ .
De tweede afgeleide is: $f " (x) = - 240 + 6 x$ .

Voor de extremen moet je oplossen: $f' (x) = 3600 - 240 x + 3 x^{2} = 0$ .
Je vindt: $x = 20 \lor x = 60$ . De extremen zijn: max. $f (20) = 32000$ en min. $f (0) = 0$ .

Voor het buigpunt los je op: $f " (x) = - 240 + 6 x = 0$ .
Dit levert op: $x = 40$ en het buigpunt $(40, 16000)$ .

Inderdaad zie je bij dit deel van de grafiek alle karakteristieken.

Opgave 4

Bekijk de grafiek van de functie $f$ met voorschrift $f (x) = x^{2} (x - 20) (x - 40)$

Om zelf de grafiek zo in beeld te krijgen, bepaal je eerst algebraïsch de nulpunten van de functie. Vervolgens kijk je naar de tabel en stel je het venster van je grafische rekenmachine in. Welke instellingen geven (ongeveer) hetzelfde deel van de grafiek te zien?

Wil je de extremen van $f$ algebraïsch berekenen, dan moet je eerst de functie differentiëren. In Voorbeeld 2 zie je hoe dat bij een dergelijke functie gaat. Je moet eerst de haakjes uitwerken. Doe dat en bepaal vervolgens de afgeleide.

Bereken nu de extremen van $f$ in gehelen nauwkeurig.

Op grond van de grafiek lijken er twee buigpunten te zijn. Met behulp van de tweede afgeleide kun je die bepalen. Bereken ook die buigpunten algebraïsch in gehelen nauwkeurig.

Opgave 5

Een Nederlands bedrijf maakt goten voor bevloeiing van akkers in een ontwikkelingsland. Die goten worden gemaakt door vlakke platen kunststof te buigen. Die platen zijn $2$ meter lang en $40$ centimeter breed. Ze worden zo gebogen dat een goot ontstaat van $2$ meter lang met als dwarsdoorsnede (in de breedterichting) een rechthoek.

De breedte van de goot noem je $x$ en de hoogte is $h$ . Welke verband bestaat er tussen $x$ en $h$ ? Stel een formule voor dat verband op.

Je kunt nu een formule opstellen voor de hoeveelheid water die zo’n goot kan bevatten. Druk de hoeveelheid water $H$ in uit in $x$ .

Bereken bij welke waarde van $x$ die hoeveelheid water maximaal is.

verder | terug