Het functievoorschrift is op te delen in afzonderlijke schakels. Je ziet dat aan het feit dat er maar op één plek een $x$ in het voorschrift voor komt.

$x\to x-2\to {(x-2)}^2\to 3{(x-2)}^2\to 3{(x-2)}^2-2$

Terugrekenen vanuit $3{(x-2)}^2-2=16$ geeft $x=-1\vee x=5$.

Eigen antwoord.

$x\to x^2\to x^2-1\to \sqrt{x^2-1}$

$x\to x^3\to 3x^3\to 3x^3+1$

$x\to x^2\to 3x^2\to 3x^2+2\to {(3x^2+2)}^4$

$h\left(x\right)=\sqrt{x^2+2}$

Nee.

$k\left(x\right)=x+2$, met afgeleide $k\prime \left(x\right)=1$.

$f\left(u\right)=u^8$ en $u=g\left(x\right)=2x^2+1$.

$f\prime \left(u\right)=8u^7$ en $g\prime \left(x\right)=4x$ geeft $h\prime \left(x\right)=f\prime \left(g\left(x\right)\right)\cdot g\prime \left(x\right)=8{\left(g\left(x\right)\right)}^7\cdot 4x=32x{(2x^2+1)}^7$.

$h\left(x\right)={(2x^3+4x)}^4$

$h\prime \left(x\right)=4(6x^2+4){(2x^3+4x)}^3$

$k\left(x\right)=2x^{12}+4x^4$

$k\prime \left(x\right)=24x^{11}+16x^2$

$f\left(x\right)=2x^{\frac{1}{2}}$
$f\prime \left(x\right)=2+\frac{1}{2}{x}^{\mathrm{-}\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$

$f\left(x\right)=x^{1\frac{1}{2}}$
$f\prime \left(x\right)=1\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}}=1\frac{1}{2}\sqrt{x}$

$f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}$
$f\prime \left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{\mathrm{-}\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

$f\left(x\right)=3x^{\mathrm{-}\frac{1}{2}}$
$f\prime \left(x\right)=\mathrm{-}\frac{3}{2}{x}^{-1\frac{1}{2}}=\frac{-3}{2x\sqrt{x}}$

${\text{D}}_f=[-5,5]$ en ${\text{B}}_f=[0,5]$.
De grafiek komt niet tot op de $x$-as en dat zou wel moeten. (Is een beperking van de grafische rekenmachine.)

$f\prime \left(x\right)=\frac{1}{2}{(25-x^2)}^{\mathrm{-}\frac{1}{2}}\cdot \left(-2x\right)=\frac{\mathrm{-}x}{\sqrt{25-x^2}}$

$f\prime \left(0\right)=0$ en de afgeleide gaat alleen voor $x=0$ over van positief naar negatief.

$f\prime \left(3\right)=\mathrm{-}\frac{3}{4}$ en $f\left(3\right)=4$ geeft voor de raaklijn $y=\mathrm{-}\frac{3}{4}x+6\frac{1}{4}$.

$f\prime \left(x\right)=8x{(x^2-100)}^3$

$f\prime \left(x\right)=-3{(1-x)}^2$

$H\prime \left(t\right)=-300{(2-4t)}^2$

$2p^2-4p{(px+3)}^3$

voor elke waarde van $x$ behalve $x=2$.

$f\prime \left(2\right)=-24$ en $f\left(2\right)=12$, dus $P=(0,60)$.

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{7}{3}{x}^{\frac{4}{3}}=\frac{7}{3}x\sqrt[3]{x}$

$f\prime \left(x\right)=\frac{-3}{x^4}-\frac{8}{x^3}+\frac{3}{x^2}$

$H\prime \left(p\right)=\mathrm{-}\frac{3}{2\sqrt{p}}\cdot {(1-\sqrt{p})}^3$

$g\prime \left(x\right)=2-\frac{5}{{(1-x)}^2}$

${\text{D}}_f=[-\sqrt{8},\sqrt{8}]$

Het minimum ligt op de rand van het domein: min.$f(-\sqrt{8})=-\sqrt{8}$.
Het maximum bepaal je met behulp van differentiëren. $f\prime \left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{8-x^2}}=0$ geeft $\sqrt{8-x^2}=x$ en na kwadrateren $x=2$ ($x=-2$ vervalt). Je vindt: max.$f\left(2\right)=4$. Het bereik wordt ${\text{B}}_f=[-\sqrt{8},4]$.

$A=(-\sqrt{8},-\sqrt{8})$ en $B=(\sqrt{8},\sqrt{8})$.
De helling van lijn $AB$ is gelijk aan $1$.
Je moet daarom oplossen $f\prime \left(x\right)=1$ en dat levert op $x=0$.

$600\cdot 30+500\cdot 70=53000$ euro.

$\sqrt{{600}^2+{500}^2}\cdot 70\approx \mathrm{54671,75}$ euro.

$K\left(x\right)=30(600-x)+70\sqrt{{500}^2+x^2}$

De minimale kosten vind je met behulp van $K\prime \left(x\right)=-30+\frac{70x}{\sqrt{{500}^2+x^2}}=0$.
Dit geeft $\sqrt{{500}^2+x^2}=\frac{7}{3}x$ en na kwadrateren $\frac{40}{9}{x}^2=250000$. Je vindt dan $x\approx 237$.
Je kunt dus het beste eerst $363$ m langs de straat graven en daarna door het veld recht naar $C$ graven.

$f\prime \left(x\right)=36x{(1+x^2)}^2$

$y\prime \left(x\right)=-16{(1-4x)}^3$

$R\prime \left(t\right)=\frac{\mathrm{7,5}}{\pi \sqrt{\frac{15}{\pi }t}}$

$f\prime \left(x\right)=\frac{4x}{\sqrt{10+4x^2}}$

$K\prime \left(p\right)=\frac{-3}{p^2\sqrt{p}}$

$f\prime \left(x\right)=3x^2+2+\frac{3}{2x\sqrt{x}}-\frac{2}{x^3}$

${\text{D}}_f=[-2,\to \rangle$

$f\prime \left(x\right)=2-\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$

$f\prime \left(x\right)=0$ geeft $\sqrt{x+2}=\frac{1}{4}$ en dus $x=-1\frac{1}{2}$ ($x=-2\frac{1}{2}$ vervalt).
Je vindt min.$f(-1\frac{1}{2})=-3+\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

${\text{B}}_f=[-3+\frac{1}{2}\sqrt{2},\to \rangle$

$f\prime \left(0\right)=2-\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx 1,65=tan\left(\alpha \right)$ en dus is $\alpha \approx \mathrm{58,7}°$.