Differentieerregels

Differentieerregels > De kettingregel

1234567De kettingregel

Uitleg

Soms bestaat een functievoorschrift uit in serie geschakelde functies.
Neem bijvoorbeeld $S (x) = {(2 x + 10)}^{3}$ .
Een functiewaarde bereken je nu in twee stappen:

eerst bereken je $g (x) = 2 x + 10$ ;
vervolgens $f (g (x)) = {(g (x))}^{3}$ .

De functie $S (x) = {(2 x + 10)}^{3} = {(g (x))}^{3} = f (g (x))$ heet een samengestelde functie of kettingfunctie.

Deze kettingfunctie kun je differentiëren door met transformaties te werken:
$S' (x) = 3 \cdot {(2 x + 10)}^{2} \cdot 2 = 6 {(2 x + 10)}^{2}$ .
Dat gaat echter alleen maar omdat $g (x) = 2 x + 10$ lineair is. En als de exponent geen geheel getal is kun je ook de haakjes niet uitwerken...
Het differentiëren van een kettingfunctie vereist in het algemeen een speciale differentieerregel: de kettingregel. Om die af te leiden gebruik je de lineaire benadering. Je vindt de afleiding van de kettingregel bij de Theorie .

Opgave 2

Gegeven is de functie $f (x) = 3 {(x - 2)}^{2} - 2$ .

Waarom is $f$ een samengestelde functie? Waaraan herken je dat?

Ontleed $f (x)$ in afzonderlijke schakels.

Welke invoerwaarden passen bij de functiewaarde $16$ ?

Deze functie kun je differentiëren zonder eerst de haakjes uit te werken. Laat zien hoe.

Opgave 3

Schrijf de volgende functievoorschriften als een ketting van afzonderlijke functies.

$y = \sqrt{(x^{2} - 1)}$

$y = 3 x^{3} + 1$

$y = {(3 x^{2} + 2)}^{4}$

Opgave 4

Gegeven zijn de functies $f (x) = \sqrt{x}$ en $g (x) = x^{2} + 2$ met $x \geq 0$ .

Schrijf het functievoorschrift op van $h (x) = f (g (x))$ .

Kun je $h$ differentiëren met behulp van de differentieerregels die je nu kent?

Schrijf het functievoorschrift van $k (x) = g (f (x))$ zo eenvoudig mogelijk. Kun je deze functie differentiëren met behulp van de differentieerregels die je nu kent?

verder | terug