Differentieerregels

Differentieerregels > De kettingregel

Overzicht

1234567De kettingregel

Theorie

Een samengestelde functie is een functie die uit twee of meer in serie geschakelde functies bestaat.

Voor de afgeleide van een samengestelde functie geldt

Differentieerregel 4 (kettingregel):
Als $S (x) = f (g (x))$ dan is $S' (x) = f' (g (x)) \cdot g' (x)$ .

> bewijs

Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is

$S' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (g (x + h)) - f (g (x))}{h}$

Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g). En dus:

$S' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (g (x) + h \cdot g' (x)) - f (g (x))}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f (g (x) + h \cdot g' (x)) - f (g (x))}{h \cdot g' (x)} \cdot g' (x)$ .

Als `h` naar `0` nadert, dan nadert ook `h * g'(x)` naar `0` (als `g'(x)` bestaat.)
En daarom vind je:

$S' (x) = f' (g (x)) \cdot g' (x)$ .

Met behulp van deze regel bewijs je ook de machtsregel voor wortelfuncties:

Als $f (x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$ dan is $f' (x) = \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n} - 1}$ voor gehele positieve $n$ en $x \neq 0$ .

> bewijs

Ga uit van $f (x) = x^{\frac{1}{n}}$ .
Je weet: ${(x^{\frac{1}{n}})}^{n} = x$ dus ${(f (x))}^{n} = x$ .

Als je aan beide zijden van het is-gelijk-teken differentieert (aan de linkerkant met de kettingregel!), dan vind je:

$n {(f (x))}^{n - 1} \cdot f' (x) = 1$

Dus: $n {(x^{\frac{1}{n}})}^{n - 1} \cdot f' (x) = 1$

En daaruit volgt: $f' (x) = \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n} - 1}$ mits `x != 0` .

In het algemeen geldt:

Differentieerregel 5 (algemene machtsregel):
Als $f (x) = x^{r}$ dan is $f' (x) = r x^{r - 1}$ voor elke reële waarde van $r$ .

Voor het bewijs van deze differentieerregel moet je eerst leren exponentiële functies en logaritmische functies te differentiëren. Dat komt later.

verder | terug