Differentieerregels

Differentieerregels > De productregel

1234567De productregel

Uitleg

Als lengte en breedte van een rechthoek functies van $x$ zijn, is de oppervlakte $A$ een productfunctie in $x$ : $A (x) = f (x) \cdot g (x)$ Je kunt de oppervlakte van deze rechthoek variëren door $x$ te laten toenemen tot $x + h$ . De nieuwe oppervlakte is:
$A^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{A (x + h) - A (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) \cdot g (x + h) - f (x) \cdot g (x)}{h}$

Met behulp van lineaire benadering van $f (x + h)$ en $g (x + h)$ wordt dit:
$A^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{(f (x) + h \cdot f^{'} (x)) \cdot (g (x) + h \cdot g^{'} (x)) - f (x) \cdot g (x)}{h}$
$= lim_{h \to 0} \frac{h \cdot f^{'} (x) \cdot g (x) + h \cdot f (x) \cdot g^{'} (x) + h^{2} \cdot f^{'} (x) \cdot g^{'} (x)}{h}$

In de figuur is $A' (x)$ het totaal van de drie donkerder rechthoekjes (als $h$ naar $0$ ).
Boven de breukstreep kun je in de drie termen de verschillende rechthoekjes herkennen.

En dus is $A^{'} (x) = lim_{h \to 0} (f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x) + h \cdot f^{'} (x) \cdot g^{'} (x)) = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$ .

Je hebt nu een manier gevonden om de afgeleide van een productfunctie te bepalen. Tenminste als $f$ en $g$ stijgende functies zijn met positieve functiewaarden.

Opgave 2

Een productfunctie als $P (t) = f (t) \cdot g (t)$ kun je opvatten als de oppervlakte van een rechthoek met lengte $f (t)$ en breedte $g (t)$ die met de tijd $t$ veranderen. (Als alle functiewaarden positief zijn.) Als je wilt kijken naar de veranderingen van die oppervlakte, dan kijk je naar het differentiequotiënt op het interval $[t, t + h]$ .

Bereken toename van de oppervlakte op $[t, t + h]$ .

Uit de toename van de oppervlakte kun je een regel voor het differentiëren van $P (t) = f (t) \cdot g (t)$ afleiden. Bekijk dit in de Uitleg . Schrijf die regel op.

Stel je voor dat $f (t) = t^{2}$ en dat $g (t) = t^{4}$ . Bepaal nu met behulp van de productregel voor differentiëren de afgeleide van de productfunctie.

verder | terug