Differentieerregels

Differentieerregels > Differentieerbaarheid

1234567Differentieerbaarheid

Voorbeeld 3

Soms bestaat een functie uit meerdere delen. Bijvoorbeeld:
$f (x) = {\begin{matrix} x^{2} & als x \leq 1 \\ x^{3} & als x > 1 \end{matrix}$

Laat zien dat deze functie niet differentieerbaar is voor $x = 1$ .

> antwoord

De grafiek van $f$ vertoont bij $x = 1$ geen sprong, want zowel $1^{2} = 1$ als $1^{3} = 1$ .
De afgeleide is:

$f' (x) = {\begin{matrix} 2 x & als x \leq 1 \\ 3 x^{2} & als x > 1 \end{matrix}$

Bekijk je nu het punt $(1, 1)$ dan zie je dat het hellingsgetal $2$ wordt als je van links naar $x = 1$ nadert, terwijl het hellingsgetal $3$ wordt als je van rechts naar $x = 1$ gaat.

Omdat beide hellingen verschillend zijn, is er sprake van een knikpunt en is $f$ niet differentieerbaar voor $x = 1$ .

Opgave 8

Bekijk de grafiek van de functie in Voorbeeld 3.

Maak zelf deze grafiek op je grafische rekenmachine.

Waarom is deze functie niet differentieerbaar voor $x = 1$ ?

Bekijk nu de functie
$g (x) = {\begin{matrix} x^{2} als x < 0 \\ x^{3} als x \geq 0 \end{matrix}$

Waarom is $g$ wel differentieerbaar voor $x = 0$ ?

verder | terug