Het blik is zuiver cilindervormig en het materiaal is overal even dik zodat de hoeveelheid materiaal alleen wordt bepaald door de oppervlakte ervan.

Oppervlakte van twee cirkels (bovenkant en onderkant) met straal $r$ en één rechthoek (de cilindermantel) met hoogte $h$ en breedte $2\pi r$.

Eigen antwoord.

$A\prime \left(r\right)=\frac{-2000}{r^2}+4\pi r=0$ geeft $r^3=\frac{2000}{4\pi }$ en dus $r\approx \mathrm{5,42}$.

Eigen antwoord.

Het blauwe streepjeslijntje is $A\left(x\right)$. Ga na dat de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $x-1$ en $A\left(x\right)$ gelijkvormig is met de grotere rechthoekige driehoek met zijden $x$ en $\sqrt{2,5^2-x^2}$. Daaruit volgt: $\frac{x-1}{x}=\frac{A\left(x\right)}{\sqrt{{\mathrm{2,5}}^2-x^2}}$.

$A\left(x\right)=(1-\frac{1}{x})\sqrt{{\mathrm{2,5}}^2-x^2}$ geeft $A\prime \left(x\right)=\frac{1}{x^2}\cdot \sqrt{{\mathrm{2,5}}^2-x^2}+(1-\frac{1}{x})\cdot \frac{\mathrm{-}x}{\sqrt{{\mathrm{2,5}}^2-x^2}}$.
$A\prime \left(x\right)=0$ levert op $\frac{\sqrt{{\mathrm{2,5}}^2-x^2}}{x^2}=\frac{x-1}{\sqrt{{\mathrm{2,5}}^2-x^2}}$ en dus $x^3-x^2={\mathrm{2,5}}^2-x^2$ en $x^3=\mathrm{6,25}$ zodat $x=\sqrt[3]{\mathrm{6,25}}\approx \mathrm{1,84}$.
Ga na dat er inderdaad van een maximum sprake is.

Eigen antwoord

Zie Voorbeeld 2.

Omdat $T\left(x\right)=t(30-x+\mathrm{1,5}\sqrt{x^2+100})=t\cdot A\left(x\right)$ (en $t>0$) is $T$ minimaal als $A$ dat is.
$A\prime \left(x\right)=-1+\frac{\mathrm{1,5}x}{\sqrt{x^2+100}}=0$ geeft $\sqrt{x^2+100}=\mathrm{1,5}x$ en na kwadrateren $\mathrm{1,25}{x}^2=100$.
Dit betekent dat $A$ (en dus $T$) minimaal is als $x=\sqrt{80}\approx \mathrm{8,94}$ m.
Het antwoord op de in het voorbeeld gestelde vraag is dat er $\mathrm{21,06}$ m langs de wegkant moet worden gegraven en vandaar rechtsreeks door de tuin naar het woonhuis.

Eigen antwoord.

Eigen antwoord.

Eigen antwoord.

$f\prime \left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}$ en dan $x=a$ invullen.

$y=(1-\frac{1}{a^2})x+b$ door $A(a,a+\frac{1}{a})$ geeft $y=(1-\frac{1}{a^2})x+\frac{2}{a}$.

$(2,1)$ invullen: $1=2-\frac{2}{a^2}+\frac{2}{a}$. Deze vergelijking moet je dan verder oplossen. Ga na dat je dezelfde waarden van $a$ vindt.

De lengte van $OP$ is $L\left(p\right)=\sqrt{p^2+{(4-p^2)}^2}=\sqrt{p^4-7p^2+16}$.
$L\left(p\right)$ is minimaal als $l\left(p\right)=p^4-7p^2+16$ dat is.
$l\text{'}\left(p\right)=4p^3-14p=0$ als $p=0\vee p=\pm \sqrt{\mathrm{3,5}}$.
De minimale lengte van lijnstuk $OP$ is $L(\pm \sqrt{\mathrm{3,5}})=\sqrt{\mathrm{3,75}}$.

De oppervlakte van rechthoek $APQB$ is $A\left(p\right)=2p(4-p^2)=8p-2p^3$.
$A\text{'}\left(p\right)=8-6p^2=0$ als $p=\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$.
De maximale oppervlakte is $5\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4}{3}}$.

De cirkel raakt de grafiek van $f$ (een bergparabool) als de staal naar het raakpunt loodrecht staat op de raaklijn aan de parabool in dat punt. Raaklijn in $P$ heeft richtingscoëfficiënt $f\text{'}\left(p\right)=-2p$ en een lijn daar loodrecht op heeft richtingscoëfficiënt $\frac{1}{\left(2p\right)}$. Straal naar $P$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{(4-p^2)}{p}$. De straal staat loodrecht op de raaklijn als $\frac{(4-p^2)}{p}=\frac{1}{\left(2p\right)}$. Dit geeft $p=\pm \sqrt{(3,5)}$. De raakpunten zijn dus $(\pm \sqrt{(3,5)};0,5)$.
De gevraagde straal is $\sqrt{({(^\sqrt{(3,5)})}^2+0,5)}=\sqrt{(3,75)}$.

Als $p=1$ is $f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$.
$f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}=0$ geeft $x^2=1$ en dus $x=-1\vee x=1$. Extremen max.$f\left(-1\right)=-2$ en min.$f\left(1\right)=2$.

$f\text{'}\left(x\right)=1-\frac{p}{x^2}=0$ geeft $x^2=p$.
Er zijn geen oplossingen als en ook als $p=0$ zijn er geen extremen.

$f\text{'}\left(0\right)=1-\frac{p}{x^2}$ en $f\text{'}\left(2\right)=1-\frac{p}{4}=-1$ geeft $p=8$.

Eigen antwoord.

Eigen antwoord

$A\left(x\right)=(x-2)(\frac{100}{x}-3)$

$A\prime \left(x\right)=-3+\frac{200}{x^2}=0$ geeft $x^2=\frac{200}{3}$ en dus $x\approx \mathrm{8,2}$ dm.

De poster moet ongeveer $\mathrm{8,2}$ bij $\mathrm{12,2}$ dm worden.

$f\prime \left(x\right)=\frac{-200x^5+1600x^3+20000x}{{(x^4+100)}^2}=0$ geeft $x(x^4-8x^2-100)=0$ en dus $x=0\vee x^2=\frac{8+\sqrt{464}}{2}$.
Dit levert drie uitkomsten op: $x=0\vee x\approx \pm 3,84$ Met behulp van de grafiek van $f$ vind je: min.$f\left(0\right)=-4$ en max.$f\left(\mathrm{-3,8}\right)=f\left(\mathrm{3,8}\right)=\mathrm{3,4}$.

$f\left(x\right)=\frac{1}{f\left(x\right)}$ levert op ${\left(f\left(x\right)\right)}^2=1$ en dus $f\left(x\right)=\pm 1$.
$f\left(x\right)=1$ geeft $x^4-100x^2+500=0$ en dus $x^2=\frac{100\pm \sqrt{8000}}{2}$ zodat $x\approx \pm \mathrm{9,73}\vee x\approx \pm \mathrm{2,30}$.
$f\left(x\right)=-1$ geeft $x^4+100x^2-300=0$ en dus $x^2=\frac{-100\pm \sqrt{11200}}{2}$ zodat $x\approx \pm \mathrm{1,71}$.
Oplossing ongelijkheid: .

Dit betekent dat in het raakpunt $(a,f\left(a\right))$ moet gelden: $\frac{f\left(a\right)}{a}=f\prime \left(a\right)$.
Dus $\frac{100a^2-400}{a(a^4+100)}=\frac{-200a^5+1600a^3+20000a}{{(a^4+100)}^2}$ zodat $(100a^2-400)(a^4+100)=a(-200a^5+1600a^3+20000a)$. Dit geeft: $300a^6-2000a^4-10000a^2-40000=0$.
Zo'n vergelijking kun je alleen met de grafische rekenmachine oplossen. Je vindt dan $a\approx \pm \mathrm{3,30}$.

$f_4\left(x\right)=\frac{x^2+4x+4}{x+3}=0$ geeft $x^2+4x+4=0$ en dus $x=-2$. Nulpunt $(-2,0)$.
$f_4\prime \left(x\right)=\frac{x^2+6x+8}{{(x+3)}^2}=0$ geeft $x^2+6x+8=0$ en dus $x=-2\vee x=-4$. Extremen max.$f\left(-4\right)=-4$ en min.$f\left(-2\right)=0$.

Als ook de teller $x^2+px+4$ een factor $x+3$ heeft kun je die wegdelen (als $x\ne -3$).
Omdat $x^2+4\frac{1}{3}x+4=x^2+3x+\frac{4}{3}x+3\cdot \frac{4}{3}=(x+\frac{4}{3})(x+3)$ is dit het geval als $p=3+\frac{4}{3}=4\frac{1}{3}$.

Als $x^2+px+4=0$ geen oplossingen heeft of alleen $x=-3$ als oplossing heeft.
Dit is het geval als . Dit betekent .
Er is maar één oplossing als $p=\pm 4$ en dan is dat niet $x=-3$, dus deze mogelijkheid vervalt.

$f_p\prime \left(x\right)=\frac{x^2+6x+3p-4}{{(x+3)}^2}=0$ heeft geen oplossingen als $x^2+6x+3p-4=0$ geen oplossingen heeft of alleen $x=-3$ als oplossing heeft.
Dit is het geval als en dus als $p>\frac{5}{3}$.
Er is maar één oplossing als $p=\frac{5}{3}$ en dan is dat niet $x=-3$, dus deze mogelijkheid vervalt.

$f_p\prime \left(0\right)=\frac{3p-4}{9}$ en $f_p\left(0\right)=\frac{4}{3}$, dus de raaklijn is $y=(\frac{1}{3}p-\frac{4}{9})x+\frac{4}{3}$.
Deze raaklijn gaat door $(9,\frac{1}{3})$ als $\frac{1}{3}=3p-4+\frac{4}{3}$, dus als $p=1$.

De lengte van $OP$ is $L\left(p\right)=\sqrt{p^2+{(4-p^2)}^2}=\sqrt{p^4-7p^2+16}$.
$L\left(p\right)$ is minimaal als $l\left(p\right)=p^4-7p^2+16$ dat is.
$l\text{'}\left(p\right)=4p^3-14p=0$ als $p=0\vee p=\pm \sqrt{\mathrm{3,5}}$.
De minimale lengte van lijnstuk $OP$ is $L(\pm \sqrt{\mathrm{3,5}})=\sqrt{\mathrm{3,75}}$.

De oppervlakte van rechthoek $APQB$ is $A\left(p\right)=2p(4-p^2)=8p-2p^3$.
$A\text{'}\left(p\right)=8-6p^2=0$ als $p=\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$.
De maximale oppervlakte is $5\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4}{3}}$.

De cirkel raakt de grafiek van $f$ (een bergparabool) als de staal naar het raakpunt loodrecht staat op de raaklijn aan de parabool in dat punt. Raaklijn in $P$ heeft richtingscoëfficiënt $f\text{'}\left(p\right)=-2p$ en een lijn daar loodrecht op heeft richtingscoëfficiënt $\frac{1}{\left(2p\right)}$. Straal naar $P$ heeft richtingscoëfficiënt $\frac{(4-p^2)}{p}$. De straal staat loodrecht op de raaklijn als $\frac{(4-p^2)}{p}=\frac{1}{\left(2p\right)}$. Dit geeft $p=\pm \sqrt{(3,5)}$. De raakpunten zijn dus $(\pm \sqrt{(3,5)};0,5)$.
De gevraagde straal is $\sqrt{({(^\sqrt{(3,5)})}^2+0,5)}=\sqrt{(3,75)}$.

$f\prime \left(x\right)=4{(x^2-x)}^3(2x-1)=0$ geeft $x=0\vee x=1\vee x=\frac{1}{2}$.
Je vindt min.$f\left(0\right)=f\left(1\right)=0$ en max.$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{256}$.

De oppervlakte van de beschreven driehoek is $A\left(k\right)=\frac{1}{2}k{(k^2-k)}^4$.
$A\prime \left(k\right)=\frac{1}{2}{(k^2-k)}^4+2k{(k^2-k)}^3(2k-1)=\frac{1}{2}{(k^2-k)}^3(9k^2-5k)=0$ geeft $k=0\vee k=1\vee k=\frac{5}{9}$.
De bedoelde oppervlakte is maximaal als $k=\frac{5}{9}$.