Differentieerregels

Opgave 9

Op rechthoekige vellen papier van $1$ m² worden foto’s afgedrukt om posters te maken. Om de foto blijft een rand wit: aan de onderkant een strook van $2$ dm breedte, aan de andere drie randen stroken van $1$ dm breedte.
Bij welke afmetingen van de poster wordt de oppervlakte van het bedrukte deel zo groot mogelijk?

a

Maak zelf een schets van de situatie met de gegevens er in.

b

Probeer eerst zelf het probleem op te lossen. Kijk pas als dat niet lukt naar c en d.

c

Neem aan dat de breedte van zo’n poster wordt voorgesteld door $x$ dm. Leid een formule af voor de oppervlakte $A$ van het bedrukte deel als functie van $x$ .

d

Bereken met behulp van differentiëren de waarde van $x$ waarvoor $A (x)$ maximaal is.

e

Beantwoord tenslotte de aan het begin gestelde vraag.

Opgave 10

Iemand wil een ladder kopen om zijn dakgoten schoon te maken. Vlak naast zijn huis op $1$ m van de muur staat echter een schutting van $3$ m hoog. Hoe lang moet een ladder minstens zijn om over de schutting tegen de muur van het huis te komen?
(Ga er van uit dat zowel de muur van het huis als de schutting loodrecht op de vlakke grond staan.)

Opgave 11

Hoe lang zijn de zijden van de gelijkbenige driehoek met de grootste oppervlakte die een omtrek heeft van $20$ cm?

Opgave 12

Bekijk de grafiek van de functie f met $f (x) = \frac{100 x^{2} - 400}{x^{4} + 100}$ .

a

Bereken algebraïsch het bereik van $f$ . Geef benaderingen in één decimaal nauwkeurig.

b

Los algebraïsch op: $f (x) \leq \frac{1}{f (x)}$ .

c

De lijn $y = a x$ raakt de grafiek van $f$ . Bereken $a$ .

Opgave 13

Gegeven is de familie van functies $f_{p}$ door $f_{p} (x) = \frac{x^{2} + p x + 4}{x + 3}$ .

a

Bereken algebraïsch de nulpunten en de extremen van $f_{4}$ .

b

Voor welke waarden van $p$ heeft de grafiek van $f_{p}$ geen verticale asymptoot?

c

Voor welke waarden van $p$ heeft de grafiek van $f_{p}$ geen nulpunten?

d

Voor welke waarden van $p$ heeft $f_{p}$ geen extremen?

e

Voor welke waarden van $p$ gaat de raaklijn aan de grafiek van $f_{p}$ voor $x = 0$ door het punt $(9, \frac{1}{3})$ ?

Opgave 14

In een rechthoekig $O x y$ -assenstelsel snijdt lijn $x = p$ met $p > 0$ de grafiek van $f (x) = 4 - x^{2}$ in punt $P$ .

a

Bereken de minimale waarde die lijnstuk $O P$ kan aannemen.

Neem nu aan dat $0 < p < 2$ . De lijn $x = p$ snijdt de $x$ -as in $A$ en van de rechthoek $A P Q B$ liggen de punten $P$ en $Q$ op de grafiek van $f$ en ligt punt $B$ ook op de $x$ -as.

b

Bereken de maximale waarde die de oppervlakte van rechthoek $A P Q B$ kan aannemen.

Een cirkel met middelpunt $O$ raakt de grafiek van $f$ in twee punten.

c

Bereken de straal van deze cirkel.

Verwerken