Differentieerregels

Differentieerregels > Toepassingen

1234567Toepassingen

Voorbeeld 3

Bekijk de applet.

Gegeven is de functie $f$ door $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .
Stel een vergelijking op van de raaklijnen aan de grafiek van $f$ die door het punt $P (2, 1)$ gaan.

> antwoord

Je ziet in de figuur dat lijn $l$ de grafiek raakt als de helling van die lijn gelijk is aan de helling van de grafiek (de afgeleide dus) van de functie f.
Het raakpunt is $(x, f (x))$ , dus:
$f' (x) = \frac{f (x) - 1}{x - 2}$ .
(Let hierbij goed op mintekens!)

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ en $f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ geeft:
$1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x + \frac{1}{x} - 1}{x - 2}$ .
Ga na, dat dit oplevert: $x = - 1 - \sqrt{3}$ of $x = - 1 + \sqrt{3}$

En hiermee kun je de mogelijke raakpunten bepalen en de vergelijkingen van beide mogelijke raaklijnen opstellen.

Opgave 5

In Voorbeeld 3 tref je een zuiver wiskundig probleem aan om op te lossen. Van het opstellen van een rekenmodel is nu geen sprake, van het vinden van een juiste aanpak wel.

Ga eerst met de applet na (door punt $A$ te verplaatsen) dat er twee van die raaklijnen mogelijk zijn. Schat de coördinaten van de punten op de grafiek waar die raaklijnen door gaan.

Probeer nu eerst zelf een oplossing voor het probleem te vinden.

Bestudeer nu de oplossing die wordt geschetst bij "Antwoord" en reken deze oplossing na. Probeer elke stap te verklaren.

Je had dit probleem ook anders kunnen aanpakken, bijvoorbeeld door het punt $A$ variabele coördinaten te geven: $A (a, a + \frac{1}{a})$ . Als je niet zelf zo'n oplossing hebt gevonden, loop dan de volgende stappen door.

Leg uit dat dan de richtingscoëfficiënt van de raaklijn door $A$ gelijk is aan $1 - \frac{1}{a^{2}}$ .

Je kunt nu de vergelijking van de raaklijn door $A$ met die richtingscoëfficiënt opstellen. Laat zien hoe.

Bereken tenslotte de twee mogelijke waarden voor $a$ door gebruik te maken van het gegeven dat de raaklijn door $P (2, 1)$ moet gaan.

Opgave 6

Bereken de exacte coördinaten van de raakpunten van de raaklijnen door `P(0, 10)` aan de grafiek van de functie `f` gegeven door `f(x) = sqrt(25 - x^2)` ..

verder | terug