Differentieerregels

Opgave 1

Differentieer de volgende functies.

a

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

b

$f (x) = 4 x \sqrt{x^{2} + 1}$

c

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$

d

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{4 x}$

e

$f (x) = \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Opgave 2

In een chemisch proces zijn druk $p$ en volume $V$ afhankelijk van de tijd $t$ . Er geldt: $p (t) = \frac{13}{V (t)}$ . Verder is $V (2) = 3$ en $p' (t) = 2$ voor elke waarde van $t$ . Op $t = 0$ is de druk $p (0) = 1$ .

a

Bereken $V' (2)$ .

b

Stel een functievoorschrift op voor $V (t)$ .

Opgave 3

Gegeven is de functie $f (x) = \frac{15 x}{x^{2} + 36}$ .

a

Bereken algebraïsch de extremen van $f$ .

b

Toon aan dat $f (- x) = - f (x)$ en leg uit welke meetkundige betekenis dit heeft voor de grafiek van $f$ .

c

De raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt met $x$ -coördinaat $3$ snijdt de $y$ -as in punt $A$ . Stel een vergelijking van die raaklijn op en bereken de coördinaten van $A$ .

d

Er zijn twee getallen $a$ en $b$ waarvoor geldt: $a \cdot b = 36$ . Bewijs dat $f (a) = f (b)$ .

Opgave 4

Je ziet hier de grafiek van de functie $f (x) = - x + \sqrt[3]{x}$ .

a

Bereken met behulp van differentiëren de extremen van $f$ in twee decimalen nauwkeurig.

b

Voor welke waarde van $x$ is de functie $f$ niet differentieerbaar? Welke raaklijn heeft de grafiek van $f$ in het bijbehorende punt van de grafiek?

c

Er is een raaklijn aan de grafiek van $f$ die door $(0, 1)$ gaat. Welke richtingscoëfficiënt heeft deze raaklijn?

Opgave 5

De functie f is gegeven door:
$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} + 2}{x} als x < - 2 \lor x > 2 \\ a x^{3} + b x als - 2 \leq x \leq 2 \end{cases}$

a

Neem $a = 1$ en $b = -2,5$ . Onderzoek of deze functie differentieerbaar is voor elke waarde van $x$ .

b

Er zijn waarden voor $a$ en $b$ te vinden waarbij deze functie wel differentieerbaar is. Bereken deze waarden van $a$ en $b$ .

Opgave 6Zwemmer in nood

Zwemmer in nood

Een zwemmer is in nood voor de kust van Bergen. De tekening geeft een beeld van de situatie. De zwemmer in nood bevindt zich bij punt $B$ in zee. Een lid van de reddingsbrigade ziet de zwemmer in nood en wil in actie komen. Zij bevindt zich in punt $A$ . Ze wil natuurlijk via de snelste weg naar de drenkeling toe. Maar wat is de snelste weg?
Een deel van de weg moet ze rennend afleggen en een deel zwemmend. Ze rent met een gemiddelde snelheid van $6$ m/s en ze zwemt met een gemiddelde snelheid van $1,5$ m/s. Hoe kan ze het snelst hulp bieden? Noem het punt waar ze in het water stapt $K$ .
Punt $K$ kan overal langs de aangegeven $100$ m-lijn liggen. De tijd die ze nodig heeft om in $B$ te komen moet natuurlijk zo klein mogelijk zijn. Noem de totale tijd $t$ , de gemiddelde snelheid over het strand $v_{s}$ en de gemiddelde snelheid in zee $v_{z}$ .

a

Druk $t$ uit in $A K$ , $K B$ , $v_{s}$ en $v_{z}$ .

b

Formuleer een verband tussen $t$ en $x$ .

c

Bepaal met behulp van differentiëren de minimale tijd die ze nodig heeft om de zwemmer te bereiken.

d

Bepaal de kortste weg.

Testen