Differentieer de volgende functies.
In een chemisch proces zijn druk en volume afhankelijk van de tijd . Er geldt: . Verder is en voor elke waarde van . Op is de druk .
Bereken .
Stel een functievoorschrift op voor .
Gegeven is de functie .
Bereken algebraïsch de extremen van .
Toon aan dat en leg uit welke meetkundige betekenis dit heeft voor de grafiek van .
De raaklijn aan de grafiek van in het punt met -coördinaat snijdt de -as in punt . Stel een vergelijking van die raaklijn op en bereken de coördinaten van .
Er zijn twee getallen en waarvoor geldt: . Bewijs dat .
Je ziet hier de grafiek van de functie .
Bereken met behulp van differentiëren de extremen van in twee decimalen nauwkeurig.
Voor welke waarde van is de functie niet differentieerbaar? Welke raaklijn heeft de grafiek van in het bijbehorende punt van de grafiek?
Er is een raaklijn aan de grafiek van die door gaat. Welke richtingscoëfficiënt heeft deze raaklijn?
De functie f is gegeven door:
Neem en . Onderzoek of deze functie differentieerbaar is voor elke waarde van .
Er zijn waarden voor en te vinden waarbij deze functie wel differentieerbaar is. Bereken deze waarden van en .
Een zwemmer is in nood voor de kust van Bergen. De tekening geeft een beeld van de
situatie.
De zwemmer in nood bevindt zich bij punt in zee.
Een lid van de reddingsbrigade ziet de zwemmer in nood en wil in actie komen. Zij
bevindt zich in punt .
Ze wil natuurlijk via de snelste weg naar de drenkeling toe. Maar wat is de snelste
weg?
Een deel van de weg moet ze rennend afleggen en een deel zwemmend.
Ze rent met een gemiddelde snelheid van m/s en ze zwemt met een gemiddelde snelheid van m/s.
Hoe kan ze het snelst hulp bieden?
Noem het punt waar ze in het water stapt .
Punt kan overal langs de aangegeven m-lijn liggen. De tijd die ze nodig heeft om in te komen moet natuurlijk zo klein mogelijk zijn. Noem de totale tijd , de gemiddelde snelheid over het strand en de gemiddelde snelheid in zee .
Druk uit in , , en .
Formuleer een verband tussen en .
Bepaal met behulp van differentiëren de minimale tijd die ze nodig heeft om de zwemmer te bereiken.
Bepaal de kortste weg.