De stroom $S$ in m³ uitgezet tegen de tijd $t$ in uren.

Door per tijdsinterval te kijken hoeveel m³ water er in het spaarbekken bijkomt of afgaat van de beginhoeveelheid.

De ondersom is ongeveer $7917$ m³ en de bovensom ongeveer $11095$ m³. Daar tussenin ligt de hoeveelheid die erbij is gekomen die dag.

De ondersom is nu ongeveer $8736$ m³ en de bovensom ongeveer $10325$ m³. Daar tussenin ligt de hoeveelheid die erbij is gekomen die dag.

Je berekent steeds hoeveel er bij $H\left(0\right)$ komt en dus is $H\left(24\right)$ gewoon $H\left(0\right)$ plus de oppervlakte van alle staafjes samen. De oppervlakte van alle staafjes samen is daarom $H\left(24\right)-H\left(0\right)$.

De schatting van $H\left(24\right)-H\left(0\right)$ is een schatting van de som van de oppervlaktes van de gebieden onder de grafiek als hij boven de $t$-as ligt, minus de oppervlakte van het gebied boven de grafiek als hij onder de $t$-as ligt.

De ondersom is ongeveer $9139$.

De bovensom is ongeveer $9934$.

De integraal zal in de buurt liggen van $(9934+9139)/2\approx 9536$.
Zelfs als je in de applet $n$ zo groot mogelijk maakt blijft er verschil tussen ondersom en bovensom. Ze naderen elkaar heel langzaam.

Je hebt nu uitgerekend hoeveel water er op een dag in het spaarbekken bij komt.
Dat heeft kennelijk te maken met de oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van de variabele stroom, met dien verstande dat als stroom negatief is ook het gebied als een aftrekpost geldt.

Doen.

Ondersom ongeveer $\mathrm{3,44}$ en bovensom ongeveer $\mathrm{5,78}$.

De integraal wordt $\mathrm{4,6875}$.

De ondersom is $20$ en bovensom is $30$.

De integraal is ongeveer $\frac{20+30}{2}=25$.

De ondersom is $\mathrm{22,5}$ en bovensom is $\mathrm{27,5}$. De schatting blijft $25$.

De integraal is gelijk aan de oppervlakte van de driehoek die het gebied voorstelt tussen de grafiek van $f$ en de lijn $x=5$. Deze oppervlakte is $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10=25$.

De ondersom is $\mathrm{17,75}$ en bovensom is $\mathrm{23,75}$.

Doen.

De integraal is $\frac{4}{3}$.

De ondersom is $\underset{¯}{S}=\frac{2}{n}\cdot \left(0+\mathrm{0,5}\cdot {(1\cdot \frac{2}{n})}^2+\mathrm{0,5}\cdot {(2\cdot \frac{2}{n})}^2+\mathrm{...}+\mathrm{0,5}\cdot {((n-1)\cdot \frac{2}{n})}^2\right)$.

De ondersom is $\underset{¯}{S}=\frac{2}{n}\cdot \left(0+\mathrm{0,5}\cdot 1^2\cdot \frac{4}{n^2}+\mathrm{0,5}\cdot 2^2\cdot \frac{4}{n^2}+\mathrm{...}+\mathrm{0,5}\cdot {(n-1)}^2\cdot \frac{4}{n^2}\right)=\frac{4}{n^3}(0^2+1^2+2^2+\mathrm{...}+{(n-1)}^2)$.
Met behulp van de gegeven formule vind je $\underset{¯}{S}=\frac{2(n-1)(2n-3)}{3n^2}$.

Als $n\to \infty$ dan $\underset{¯}{S}=\frac{2(n-1)(2n-3)}{3n^2}=\frac{4n^2-10n+6}{3n^2}=\frac{4}{3}-\frac{10}{3n}+\frac{2}{n}\to \frac{4}{3}$.

Doen.

Doen.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0,5}\pi }{\int }}sin(x)\text{d}x=1$.

Die oppervlakte is $3$.

Het voorwerp beweegt terug naar het beginpunt.

Na $15$ seconden is $15\cdot 20=300$ meter afgelegd. In de volgende $20$ seconden wordt $200$ meter afgelegd. Na $35$ seconden is het voorwerp $100$ meter van het beginpunt verwijderd.

De afgelegde afstand is gelijk aan de oppervlakte onder $v(t)$.

Je hoeft niet met onder- en bovensom te werken. Deze oppervlakte kun je meetkundig berekenen door het gebied onder de grafiek te verdelen in rechthoeken en halve rechthoeken. Je vindt $\mathrm{237,5}+100=337.5$ m afgelegd en $\mathrm{237,5}-100=\mathrm{137,5}$ m vanaf het beginpunt.

Het aantal liter olie dat uit het vat is gestroomd.

$5\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 1=\mathrm{7,5}$ liter.

De ondersom is ongeveer $\mathrm{7,5}+\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{0,6}+\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{0,25}+\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{0,1}+\mathrm{2,5}\cdot 0=\mathrm{9,875}$ liter. De bovensom is ongeveer $\mathrm{7,5}+\mathrm{2,5}\cdot 1+\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{0,6}+\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{0,25}+\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{12,375}$ liter. Er is dus ongeveer $\mathrm{9,875}+\mathrm{12,375}=\mathrm{11,125}\approx 11$ liter uit het vat gestroomd.

Dit gebeurt binnen de eerste vijf minuten waarin het uitstromen lineair gaat. Voor die periode is de uitstroomsnelheid $v(t)=2-\mathrm{0,2}t$. De oppervlakte onder de grafiek van $0$ tot $t$ moet dan $4$ liter zijn, dus: $t\cdot (2-\mathrm{0,2}t)+\frac{1}{2}\cdot t\cdot (2-(2-\mathrm{0,5}t))=2t-\mathrm{0,1}{t}^2=4$. Dit geeft $t\approx \mathrm{2,25}$ minuten.

$\underset{¯}{S}=2\cdot \sqrt{1}+2\cdot \sqrt{3}+2\cdot \sqrt{5}+2\cdot \sqrt{7}\approx \mathrm{15,2277}$ en $\overline{S}=2\cdot \sqrt{3}+2\cdot \sqrt{5}+2\cdot \sqrt{7}+2\cdot \sqrt{9}\approx \mathrm{19,2277}$. De schatting is het gemiddelde van de ondersom en de bovensom, dus ongeveer $\mathrm{17,2}$.

$\underset{¯}{S}\approx \mathrm{16,3060}$ en $\overline{S}\approx \mathrm{18,3060}$. De schatting wordt nu ongeveer $\mathrm{17,3}$.

$\mathrm{13,5}$

$63$

$-1$

$4$

$\approx \mathrm{1,4427}$ (GR)

$\approx \mathrm{2,6667}$ (GR)

$\mathrm{-}\underset{2}{\overset{6}{\int }}(x^2-8x)\text{d}x=58\frac{2}{3}$

$\mathrm{-}\underset{6}{\overset{8}{\int }}(x^2-8x)\text{d}x+\underset{8}{\overset{10}{\int }}(x^2-8x)\text{d}x=18\frac{2}{3}$

Doen. Je kunt alle verschillen op elkaar stapelen tot één rechthoek.

$\frac{b-a}{4}\cdot f(b)-\frac{b-a}{4}\cdot f(a)$

$\frac{b-a}{10}\cdot f(b)-\frac{b-a}{10}\cdot f(a)$ en $\frac{b-a}{n}\cdot f(b)-\frac{b-a}{n}\cdot f(a)$.

$\frac{\mathrm{0,5}\pi -0}{n}\cdot sin(\mathrm{0,5}\pi )-\frac{\mathrm{0,5}\pi -0}{n}\cdot sin(0)=\frac{\mathrm{0,5}\pi }{n}>\mathrm{0,0001}$ geeft $n>5000\pi$.

De ondersom is $-12+-5+0+3+3+0+-5+-12=-28$.
De bovensom is $-5+0+3+4+4+3+0+-5=-4$.

$\underset{-4}{\overset{4}{\int }}(4-x^2)\text{d}x=10\frac{2}{3}$ en dat getal ligt tussen de in a gevonden ondersom en bovensom.

Die oppervlakte is $2\cdot \underset{2}{\overset{4}{\int }}(\mathrm{-}4+x^2)\text{d}x+\underset{-2}{\overset{2}{\int }}(4-x^2)\text{d}x=32$.

De ondersom is $\mathrm{2,25}$ en de bovensom is $\mathrm{6,25}$.

$\underset{¯}{S}=\frac{2}{n}\cdot \left(0+{(\frac{2}{n})}^3+{(2\cdot \frac{2}{n})}^3+\mathrm{...}+{((n-1)\cdot \frac{2}{n})}^3\right)=\frac{16}{n^4}\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{k}^3$.

$\frac{2}{n}\cdot (2^3-0^3)=\frac{16}{n}$.

$\frac{16}{n}<0.0005$ geeft $n>32000$.