Integraalrekening

Integraalrekening > De integraal

123456De integraal

Voorbeeld 3

Je ziet hier de grafiek van de functie $f$ met $f (x) = sin (x)$ op $[0, 2 π]$ .
Bereken $\int 0 2 π \sin (x) \cdot dx$ en bereken de oppervlakte van het vlakdeel $V$ ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as.

> antwoord

Met je GR vind je meteen: $\int_{0}^{2 π} sin (x) d x = 0$ .
Dat ligt ook voor de hand, want de standaard sinusfunctie heeft op $[π, 2 π]$ dezelfde functiewaarden als op $[0, π]$ , alleen zijn ze op $[π, 2 π]$ negatief en op $[0, π]$ positief.

Wil je de gevraagde oppervlakte weten, dan moet je $\int_{0}^{π} sin (x) d x$ en
$\int_{π}^{2 π} - sin (x) d x$ optellen. Je kunt dan sneller $2 \cdot \int_{0}^{π} sin (x) d x$ berekenen.
Je ziet dat de gevraagde oppervlakte $4$ is.

Opgave 8

Het verschil tussen een integraal en de oppervlakte ingesloten door de grafiek van een functie en de $x$ -as wordt in Voorbeeld 3 besproken.

Controleer zelf met je grafische rekenmachine dat $\int_{0}^{2 π} sin (x) d x = 0$ .

Ga ook na dat $\int_{0}^{π} sin (x) d x = 2$ .

Hoeveel is dus $\int_{0}^{0,5 π} sin (x) d x$ ?

Hoe groot is de oppervlakte ingesloten door de grafiek van $f (x) = sin (x)$ , de $x$ -as en de lijn $x = 1,5 π$ ?

Opgave 9

De linker grafiek geeft de snelheid weer van een voorwerp dat langs een rechte weg voortbeweegt.

Welke betekenis heeft het feit dat de snelheid na $15$ seconden negatief is geworden?

Hoe ver is het voorwerp na $35$ seconden van zijn beginpunt verwijderd?

Een ander voorwerp beweegt langs dezelfde rechte weg. De snelheid ervan verandert echter verandert echter voortdurend volgens de rechter grafiek.

Leg uit, waarom de totale afgelegde afstand vanaf $t = 0$ de integraal van de functie $v (t)$ is.

Geef een zo goed mogelijke schatting van de totale afgelegde afstand.

verder | terug