Integraalrekening

Integraalrekening > De integraal

123456De integraal

Uitleg

Bekijk de applet: Stroom in een spaarbekken

In een groot spaarbekken stroomt vrijwel voortdurend water in en ook wordt er voortdurend water aan onttrokken. Het verschil tussen instroom en uitstroom is de stroom in m³/uur en afhankelijk van de tijd $t$ in uren.
Je kunt van die stroom een grafiek maken en daarmee bepalen hoeveel water er aan het einde van een dag (ongeveer) in het spaarbekken is bijgekomen of afgegaan.
Je kunt bijvoorbeeld elk uur een ondergrens en een bovengrens van de hoeveelheid stroom vaststellen. Positieve waarden betekenen dat er meer instroom dan uitstroom is, bij negatieve waarden is dat andersom. De bovensom is het totaal van de bovengrenzen per uur, de ondersom dat van de ondergrenzen per uur.

Bekijk deze grafiek van de stroom, het verschil tussen instroom en uitstroom, in een spaarbekken. De hoeveelheid die deze dag erbij is gekomen ligt in tussen bovensom en ondersom.

Door de tijdseenheid $∆ t$ te verkleinen, kun je bovensom en ondersom nauwkeuriger vaststellen. Ze komen dan dichter bij elkaar te liggen en je schatting wordt beter. De ondersom is het totaal van $S_{min} (t) \cdot ∆ t$ waarin $S_{min}$ steeds het minimum van $S$ op elk deelinterval is. Zo is de bovensom het totaal van $S_{max} (t) \cdot ∆ t$ .
De integraal van $S$ is het getal waar bovensom en ondersom beide naar naderen.

Dit veronderstelt wel dat ze inderdaad naar hetzelfde getal naderen, een belangrijke voorwaarde voor het bestaan van de integraal.
Verdeel je het interval $[0, 24]$ in $n$ gelijke deelintervallen, dan is de ondersom is het totaal van $S_{min} (t_{1}) \cdot ∆ t + S_{min} (t_{1}) \cdot ∆ t + ... + S_{min} (t_{n}) \cdot ∆ t$ .
Dit schrijf je korter als $\underline{S_{n}} = \sum_{k = 1}^{n} S_{min} (t_{k}) \cdot ∆ t$ .
En zo is bovensom in formulevorm $\bar{S_{n}} = \sum_{k = 1}^{n} S_{max} (t_{k}) \cdot ∆ t$ .
Als $lim_{n \to \infty} (\bar{S_{n}} - \underline{S_{n}}) = 0$ dan bestaat de integraal. Hij wordt aangeduid als $\int_{0}^{24} S (t) d t$ .

Ondersommen en bovensommen zijn met de grafische rekenmachine te bepalen.
De grafische rekenmachine kan echter ook rechtsreeks een integraal voor je benaderen.
In beide gevallen heb je dan een functievoorschrift voor $S$ nodig.

Opgave 2

In de Uitleg wordt de toename en de afname per uur van de hoeveelheid water in een spaarbekken beschreven. Er is een grafiek getekend die iets te maken heeft met de hoeveelheid water in het bekken.

Wat stelt deze grafiek precies voor?

Hoe kun je de totale hoeveelheid bijgekomen water aan het einde van deze dag berekenen?

Voer die berekening uit op basis van intervallen van $1$ uur.

Voer die berekening nog eens uit op basis van intervallen van $0,5$ uur.

Opgave 3

De hoeveelheid water $H$ in het spaarbekken op $t = 0$ was $H (0) = 10000$ . Je hebt aan het eind van de voorgaande opgave een schatting gemaakt van $H (24) - H (0)$ .

Leg uit dat je hebt berekend: $H (24) - H (0)$ .

De grafiek is in drie delen te verdelen: twee delen waarbij stroom positief is en een deel waarbij stroom negatief is. Welk verband bestaat er tussen deze schatting en de oppervlakte tussen deze drie delen van de grafiek en de $t$ -as?

Opgave 4

De variabele stroom wordt voorgesteld door de functie $f (t)$ .

Neem een tijdsinterval van $0,25$ uur. Bereken de ondersom van $f (t)$ op het interval $[0, 24]$ .

Bereken vervolgens de bovensom van $f (t)$ op ditzelfde interval.

Welke waarde schat je nu voor de integraal van $f (t)$ over dit interval?

Wat stelt je antwoord bij c voor?

verder | terug