Primitiveren is het terugredeneren vanuit een gegeven functie $f$ die de afgeleide is van $F$ naar het functievoorschrift van $F$.

Omdat $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$.

$F\left(x\right)=\frac{1}{6}{x}^3+1$ en $F\left(x\right)=\frac{1}{6}{x}^3+c$, waarin $c$ een willekeurige constante is.

$F\left(1\right)=0$, deze integraal heeft als ondergrens $1$.
De schrijfwijze ${\int }_1^{x}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)-F\left(1\right)$ is handig omdat je dan gewoon de basisprimitieve kunt invullen zonder met de $c$ rekening te houden.

$F\left(4\right)-F\left(1\right)=\frac{1}{6}\cdot 4^3-\frac{1}{6}=\mathrm{10,5}$.

$F\left(4\right)-F\left(2\right)=\frac{1}{6}\cdot 4^3-\frac{1}{6}\cdot 2^3=9\frac{1}{3}$.

De integraal van $f\left(x\right)=15x^4$ over het interval $[-1,x]$.

Als $x\to x+h$ dan neemt $F\left(x\right)$ toe met $F(x+h)-F\left(x\right)\approx f\left(x\right)\cdot h$, dus
$\underset{h\to 0}{lim}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$.

$F\left(x\right)=3x^5+c$ (controleer door differentiëren).
En omdat $F(-1)=0$, moet $c=3$. De juiste primitieve is $F\left(x\right)=3x^5+3$.

$F\left(2\right)=3\cdot 2^5+3=99$ als je meteen de juiste primitieve (dus met de goede constante) gebruikt.
Je kunt ook $F\left(x\right)=3x^5+c$ gebruiken en dan de integraal berekenen uit $F\left(2\right)-F\left(1\right)$. Ga na, dat dit hetzelfde oplevert.

Bijvoorbeeld de machtsregel: $F\left(x\right)=\frac{1}{r+1}\cdot x^{r+1}$ geeft $F\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{r+1}\cdot (r+1)\cdot x^{r+1-1}=x^r=f\left(x\right)$. Dus die regel klopt. Zo doe je ook de andere regels.

Doen! Doe eerst de opdracht zonder de antwoorden te bekijken.

Doen.

De integraal van $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ over het interval $[0,x]$.

Als $x\to x+h$ dan neemt $F\left(x\right)$ toe met $F(x+h)-F\left(x\right)\approx f\left(x\right)\cdot h$, dus
$\underset{h\to 0}{lim}\left(F\right(x+h)-F(x\left)\right)=f\left(x\right)$ en dus is $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$. Het vinden van een voorschrift voor $F$ uit $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$ heet primitiveren (zie de theorie).

$f\left(x\right)=x^{\mathrm{0,5}}$ dus $F\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^{\mathrm{1,5}}+c=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+c$ (controleer door differentiëren).

Omdat $F\left(0\right)=0$, moet $c=0$. De juiste primitieve is $F\left(x\right)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$. $F\left(9\right)=\frac{2}{3}\cdot 9\cdot \sqrt{9}=18$.

$F\left(x\right)=x^3-2x^2+x+c$

$F\left(x\right)=\mathrm{0,75}{x}^{1\frac{1}{3}}+c=\mathrm{0,75}x\sqrt[3]{x}+c$

$F\left(x\right)=-2x^{-1}+c=\frac{}{-2}+c$

$F\left(x\right)=\frac{2}{3}{\left(3x\right)}^{\mathrm{1,5}}\cdot \frac{1}{3}+c=\frac{2}{3}x\sqrt{3x}+c$

$F\left(x\right)=\frac{1}{3}{(4x-1)}^3\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{1}{12}{(4x-1)}^3+c$

$f\left(x\right)=1-4x^{-2}$ geeft $F\left(x\right)=x+4x^{-1}+c=4-\frac{4}{x}+c$

$f\left(x\right)=x^{-2}+x^2$ geeft $F\left(x\right)=\mathrm{-}{x}^{-1}+\frac{1}{3}{x}^3+c=\frac{-1}{x}+\frac{1}{3}{x}^3+c$.
$F\left(1\right)=2$ geeft $c=\frac{2}{3}$, dus $F\left(x\right)=\frac{-1}{x}+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}$.

$f\left(x\right)=3x^{-2}-4x^{-3}$ geeft $F\left(x\right)=-3x^{-1}+2x^{-2}+c=\frac{-3}{x}+\frac{2}{x^2}+c$.
$F\left(1\right)=2$ geeft $c=1$, dus $F\left(x\right)=\frac{-3}{x}+\frac{2}{x^2}+1$.

$f\left(x\right)={(4x-2)}^3$ geeft $F\left(x\right)=\frac{1}{4}{(4x-2)}^4\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{1}{16}{(4x-2)}^4+c$.
$F\left(0\right)=1$ geeft $c=0$, dus $F\left(x\right)=\frac{1}{16}{(4x-2)}^4$.

$f\left(x\right)={(1+4x)}^{\mathrm{0,5}}$ geeft $F\left(x\right)=\frac{2}{3}{(1+4x)}^{\mathrm{1,5}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{1}{6}(1+4x)\sqrt{1+4x}+c$.
$F\left(0\right)=1$ geeft $c=\mathrm{-0,5}$, dus $F\left(x\right)=\frac{1}{6}(1+4x)\sqrt{1+4x}-\mathrm{0,5}$.

Controleren door differentiëren.

$G\left(x\right)=\mathrm{-}\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}+\frac{22}{3}x\sqrt{x}-36\sqrt{x}+c$ met $G\left(2\right)=0$ geeft $c=\frac{344}{15}\sqrt{2}$.

De integraal is nu $G\left(9\right)=\mathrm{-7,2}+\frac{344}{15}\sqrt{2}\approx \mathrm{25,23}$.

In het plaatje in het voorbeeld zie je dat de integraal overeen lijkt te komen met de benadering ervan door de grafische rekenmachine.

$F\left(x\right)=4x-\frac{1}{3}{x}^3+c$ met $F(-4)=0$ geeft $F\left(x\right)=4x-\frac{1}{3}{x}^3-5\frac{1}{3}$.

${\int }_{-4}^{4}f\left(t\right)\text{d}t=F\left(4\right)=-10\frac{2}{3}$.

Nee, want de gebieden waar de grafiek negatieve functiewaarden heeft leveren een negatieve bijdrage voor de integraal op.

$F\left(2\right)$ is de integraal over het interval $[0,2]$ van $f\left(x\right)=x^3-4x$.
Omdat $F\left(x\right)=\mathrm{0,25}{x}^4-2x^2+c$ met $F\left(0\right)=0$, is $F\left(x\right)=\mathrm{0,25}{x}^4-2x^2$ en dus $F\left(2\right)=-4$.

$F$ heeft extremen als $F\text{'}\left(x\right)=x^3-4x=0$, dus voor $x=0\vee x=\pm 2$.
Omdat $x=-2$ vervalt, krijg je een maximum $F\left(0\right)=0$ en een minimum $F\left(2\right)=-4$.

als $x=\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$. De negatieve waarde vervalt.

$F(\sqrt{}\frac{4}{3})=\mathrm{-}\frac{20}{9}$ en $F\text{'}(\sqrt{}\frac{4}{3})=\mathrm{-}\frac{8}{3}\sqrt{\frac{4}{3}}$, dus $y=\mathrm{-}\frac{8}{3}\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot x+\frac{4}{3}$.

$f\left(x\right)={(3x-2)}^4$ geeft $F\left(x\right)=\frac{1}{15}{(3x-2)}^5+c$.

$f\left(x\right)=x+x^3$ geeft $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{4}{x}^4+c$.

$f\left(x\right)=1+2x^2+x^4$ geeft $F\left(x\right)=x+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+c$.

$f\left(x\right)=4{(2x+1)}^{-2}$ geeft $F\left(x\right)=-2{(2x+1)}^{-1}+c=\frac{-2}{2x+1}+c$.

$F\left(x\right)=2x^{0,5}+c=2\sqrt{x}+c$

$F\left(x\right)=\frac{1}{36}{(3x-2)}^{12}+c$

$F\left(x\right)=\frac{2}{7}{x}^{3,5}+\frac{8}{3}{x}^{1,5}+c=\frac{2}{7}{x}^3\sqrt{x}+\frac{8}{3}x\sqrt{x}+c$

$F\left(x\right)=\frac{1}{5}{(3x+5)}^5+c$

${\int }_0^{2}f\left(t\right)\text{d}t$

$F\left(x\right)=3x^2-x^3+c$ met $F\left(0\right)=0$ geeft $F\left(x\right)=3x^2-x^3$.

De gewenste oppervlakte is $F\left(2\right)=4$.

Klopt.

${\int }_0^{4}f\left(t\right)\text{d}t$

$F\left(x\right)=\mathrm{-}\frac{2}{3}{(4-x)}^{\mathrm{1,5}}+c=\mathrm{-}\frac{2}{3}(4-x)\sqrt{4-x}+c$ met $F\left(0\right)=0$ geeft $F\left(x\right)=\mathrm{-}\frac{2}{3}(4-x)\sqrt{4-x}+\frac{16}{3}$.

De gewenste oppervlakte is $F\left(4\right)=\frac{16}{3}$.

De grafische rekenmachine geeft ongeveer $\mathrm{5,333}$ (maar niet precies $5\frac{1}{3}$).

$F\left(x\right)=\frac{2}{3}x\sqrt{2x}+\sqrt{2x}+c$ met $F\left(0\right)=1$ geeft $F\left(x\right)=\frac{2}{3}x\sqrt{2x}+\sqrt{2x}+1$.

$F\left(x\right)=\mathrm{-}{(3x+4)}^{-1}+c=\frac{-1}{3x+4}+c$ met $F\left(0\right)=1$ geeft $F\left(x\right)=\frac{-1}{3x+4}+\mathrm{1,25}$.