Integraalrekening

Integraalrekening > Primitieven

Overzicht

123456Primitieven

Voorbeeld 1

Hier zie je een aantal primitieven van functies.

$f (x) = x^{4}$ dus $F (x) = \frac{1}{5} x^{5} + c$
$f (x) = 3 x^{4}$ dus $F (x) = \frac{3}{5} x^{5} + c$
$f (x) = 0,5 x^{4} - 4 x^{2} + 2$
dus $F (x) = 0,5 \cdot \frac{1}{5} x^{5} - 4 \cdot \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + c = 0,1 x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + 2 x + c$
$f (x) = {(3 x + 1)}^{5}$ dus $F (x) = \frac{1}{6} {(3 x + 1)}^{6} \cdot \frac{1}{3} + c = \frac{1}{18} {(3 x + 1)}^{6} + c$
$f (x) = \frac{2}{5 x^{3}} = \frac{2}{5} x^{-3}$ dus $F (x) = - \frac{1}{5} x^{-2} + c = - \frac{1}{5 x^{2}} + c$
$f (x) = 3 x \sqrt{2 x} = 3 \sqrt{2} \cdot x^{1,5}$ dus $F (x) = 3 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2,5} x^{2,5} + c = 1,2 x^{2} \sqrt{2 x} + c$

Opgave 3

Bekijk in de Theorie wat je onder een primitieve verstaat en welke regels je kunt toepassen om ze te bepalen.

Controleer de juistheid van elke regel door differentiëren.

In Voorbeeld 1 worden verschillende primitieven bepaald. Probeer steeds eerst zelf de primitieve te vinden.

Controleer alle primitieven door differentiëren.

Opgave 4

Gegeven is de functie $f (x) = \sqrt{x}$ op het interval $[0, 5]$ .

Wat stelt $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ voor?

Waarom is $F$ een primitieve van $f$ ?

Bepaal alle mogelijke functies $F$ met behulp van de machtsregel voor primitiveren.

Bereken nu exact $\int_{0}^{9} \sqrt{x} d x$ .

Opgave 5

Het berekenen van de primitieven van een functie wordt ook wel "onbepaald integreren" genoemd. Je noteert dit met een integraalteken zonder grenzen. Bepaal:

$\int 3 x^{2} - 4 x + 1 d x$

$\int \sqrt[3]{x} d x$

$\int \frac{2}{x^{2}} d x$

$\int \sqrt{3 x} d x$

$\int {(4 x - 1)}^{2} d x$

$\int \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} d x$

verder | terug