Integraalrekening

Integraalrekening > Primitieven

123456Primitieven

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie $f$ door $f (x) = \frac{x^{4} - 16}{2 x^{2}}$ .
Deze functie heeft een primitieve waarvan de grafiek door het punt $P (1, 5)$ gaat.
Stel het functievoorschrift van die primitieve op.

> antwoord

Door uitdelen vind je: $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 8 x^{-2}$ .
Dus is $F (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3} - 8 \cdot \frac{1}{-1} x^{-1} + c = \frac{1}{6} x^{3} + \frac{8}{x} + c$ .

Dit is een hele verzameling primitieven. Je zoekt de primitieve die door $P (1, 5)$ gaat. Voor die primitieve moet dus gelden $F (1) = 5$ . Dit betekent:
$\frac{1}{6} + 8 + c = 5$ en dus $c = -3 \frac{1}{6}$ .
De gevraagde primitieve is $F (x) = \frac{1}{6} x^{3} + \frac{8}{x} - 3 \frac{1}{6}$ .

Opgave 6

In Voorbeeld 2 wordt een primitieve berekend die aan een bepaalde randvoorwaarde voldoet.

Bereken de primitieve $F$ van $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + x^{2}$ waarvoor geldt $F (1) = 2$ .

Bereken de primitieve $F$ van $f (x) = \frac{3 x - 4}{x^{3}}$ waarvoor geldt $F (1) = 2$ .

Bereken de primitieve $F$ van $f (x) = {(4 x - 2)}^{3}$ waarvoor geldt $F (0) = 1$ .

Bereken de primitieve $F$ van $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + 4 x}}$ waarvoor geldt $F (2) = 0$ .

verder | terug