Integraalrekening

Integraalrekening > Primitieven

123456Primitieven

Voorbeeld 3

Gegeven is de functie $f$ door $f (x) = \frac{(x - 2) (x - 9)}{\sqrt{x}}$ .
$V$ is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as.
Bereken de oppervlakte van dit vlakdeel met behulp van primitiveren in twee decimalen nauwkeurig.

> antwoord

Eerst de functie herschrijven: f(x) = $f (x) = \frac{x^{2} - 11 x + 18}{x^{0,5}} = x^{1,5} - 11 x^{0,5} + 18 x^{0,5}$ .
De primitieve van $f$ is:
$F (x) = \frac{1}{2,5} x^{2,5} - \frac{11}{1,5} x^{1,5} + \frac{18}{0,5} x^{0,5} + c = \frac{2}{5} x^{2} \sqrt{x} - \frac{22}{3} x \sqrt{x} + 36 \sqrt{x} + c$ .

Kijkend naar de grafiek van $f$ constateer je dat het gaat om de integraal van $f$ op het interval $[2, 9]$ . Alleen zijn dan alle functiewaarden negatief en daarom de uitkomst ook.
De gevraagde oppervlakte is $\int_{2}^{9} - f (x) d x = - F (9) - - F (2) \approx 25,23$ .

Opgave 7

Bestudeer nu Voorbeeld 3.

Ga na dat de primitieven $F$ van de gegeven functie $f$ juist zijn.

Je moet nu $\int_{2}^{9} - f (x) d x$ berekenen. Bepaal de functie $G$ waarvoor $G (x) = - F (x)$ waarvoor geldt $G (2) = 0$ .

Bereken met behulp van het antwoord van b de gewenste integraal.

Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.

Opgave 8

Gegeven is de functie $f (x) = 4 - x^{2}$ op het interval $[-4, 4]$ .

Bepaal de primitieve $F$ van $f$ waarvoor geldt $F (-4) = 0$ .

Bereken met behulp van de primitieve die je bij a hebt gevonden de integraal van $f$ op het gegeven interval.

Is deze integraal gelijk aan de oppervlakte van de gebieden ingesloten door de grafiek van $f$ , de $x$ -as en de lijnen $x = -4$ en $x = 4$ ? Licht je antwoord toe.

verder | terug