Bekijk de applet.

Je ziet hier de grafiek van de functie $f$ met $f(t)=\mathrm{0,5}{t}^2$.
Op $[1,x]$ is de integraal van $f$ gelijk aan ${\displaystyle }$.
Deze integraal is een functie van $x$ en wordt voorgesteld door $F(x)$.
Laat je $x$ een heel klein beetje toenemen naar $x+h$, dan neemt $F(x)$ toe met: $F(x+h)-F(x)\approx f(x)\cdot h$.
Hieruit volgt: $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\approx f(x)$.
Laat je vervolgens $h$ naar $0$ naderen, dan vind je:
$\underset{h\to 0}{lim}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)$ en dus $F\text{'}(x)=f(x)$.

Je moet kennelijk de integraal $F(x)$ vinden vanuit zijn afgeleide $f(x)=\mathrm{0,5}{x}^2$. Dit betekent: terugrekenen vanuit een afgeleide. Dat noem je primitiveren en de functie die je vindt heet een primitieve functie van $f$. Ga na, dat: $F(x)=\frac{1}{6}{x}^3+c$ voldoet.
Hierin is$c$een willekeurige constante. Een functie heeft namelijk niet één primitieve, maar een hele verzameling: een constante bijtellen verandert de afgeleide niet!
Maar omdat hier geldt $F(1)=0$ moet $c=\mathrm{-}\frac{1}{6}$, dus $\underset{1}{\overset{x}{\int }}\mathrm{0,5}{t}^2\text{d}t=\frac{1}{6}{x}^3-\frac{1}{6}=F(x)-F(1)$.
Kies een waarde voor $x$ en je kunt de integraal berekenen.