Integraalrekening

Opgave 9

Bereken de volgende integralen exact en controleer de antwoorden met de grafische rekenmachine.

a

$\int_{0}^{1} \frac{3}{{(2 x + 1)}^{4}} d x$

b

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} d x$

c

$\int_{1}^{2} \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{4}} d x$

d

$\int_{-3}^{1} \frac{-2}{\sqrt{3 - 2 x}} d x$

Opgave 10

Gegeven is de functie $f (x) = 0,5 (x - 4) (x^{2} - 4)$ .

a

Breng de grafiek van deze functie zo in beeld dat alle karakteristieken duidelijk te zien zijn.

b

Bereken de oppervlakte van het vlakdeel $V$ ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as.

c

De raaklijn aan de grafiek van $f$ voor $x = 2$ , de $y$ -as en de grafiek van $f$ sluiten een vakdeel $W$ in. Bereken de oppervlakte daarvan.

Opgave 11

Gegeven is de functie $f (x) = 3 x - x^{3}$ .

a

Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as.

b

Het gebied ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as op het interval $[0, \sqrt{3}]$ wordt door de lijn $x = p$ verdeeld in twee gebieden met gelijke oppervlakte.
Bereken $p$ in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 12

Bereken de volgende onbepaalde integralen:

a

$\int \frac{- (x - 3) (x + 1)}{x^{4}} d x$

b

$\int {(2 x + 5)}^{3} \sqrt{2 x + 5} d x$

c

$\int x^{2} \sqrt{6 - x^{3}} d x$

d

$\int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Opgave 13

Een heel eenvoudig voorbeeld van een functie die je wel kunt differentiëren, maar niet primitiveren is $f (x) = \frac{1}{x}$ .

a

Welk probleem doet zich voor als je deze functie met de machtsregel wilt primitiveren?

b

Bereken $\int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$ .

c

Waarom heeft $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} d x$ geen betekenis? Zou je toch een waarde aan deze integraal kunnen toekennen? En zo ja, wat is dan je redenering?

Verwerken