Integraalrekening

Integraalrekening > Integreren

123456Integreren

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$ .
Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van $f$ en de $x$ -as.

> antwoord

Voor het primitiveren van $f$ kun je terugrekenen vanuit de kettingregel.
Herken, dat de afgeleide van $g (x) = 4 - x^{2}$ is $g^{'} (x) = -2 x$ .
Omdat $x = - \frac{1}{2} \cdot -2 x$ , kun je $f$ schrijven als: $f (x) = - \frac{1}{2} \cdot g^{'} (x) \cdot {(g (x))}^{0,5}$ .
En dus is $F (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1,5} \cdot {(g (x))}^{1,5} + c = - \frac{1}{3} (4 - x^{2}) \sqrt{4 - x^{2}} + c$ .

Met behulp van de grafiek zie je dat de gevraagde oppervlakte is:
$o p p (V) = 2 \cdot \int_{0}^{2} f (x) d x = {[- \frac{1}{3} (4 - x^{2}) \sqrt{4 - x^{2}} + c]}_{0}^{2} = \frac{16}{3}$

Opgave 7

In Voorbeeld 2 wordt bij het integreren ook gebruik gemaakt van de substitutieregel.

Loop het voorbeeld na.

Bereken $\int_{-1}^{1} x \sqrt{1 - x^{2}} d x$ .

Bereken de exacte oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van $f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$ en de $x$ -as.

Opgave 8

De integraal $\int_{1}^{9} \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$ kun je op twee manieren exact berekenen.

Doe dit eerst door van de substitutieregel gebruik te maken.

Je kunt dit ook doen door de deling uit te voeren. Laat zien dat je dan hetzelfde krijgt.

verder | terug