De gevraagde oppervlakte is $\underset{1}{\overset{2}{\int }}(x^3-x^2)\text{d}x={\left[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_1^2=\frac{17}{12}$.

De lijn $y=2$ snijdt de grafiek van $f$ in $(\pm \sqrt{2},2)$ en die van $g$ in $(\sqrt[3]{2},0)$. De gevraagde oppervlakte is $\underset{1}{\overset{\sqrt[3]{2}}{\int }}(x^3-x^2)\text{d}x+\underset{\sqrt[3]{2}}{\overset{\sqrt{2}}{\int }}(2-x^2)\text{d}x\approx \mathrm{0,079}$.

Elk lijnstukje is de hypothenusa van een rechthoekig driehoekje met rechthoekszijden $\text{∆}x$ en $\text{∆}{y}_k$. En dus bereken je de lengte ervan met de stelling van Pythagoras.

Doen.

$L=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+{(g^{\prime }(x))}^2}\text{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+{(3x^2)}^2}\text{d}x\approx \mathrm{1,55}$.

$g^{\prime }(x)=1$.
$L=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+1^2}\text{d}x={\left[\sqrt{2}\cdot x\right]}_{-2}^1=3\sqrt{2}$.

Met de stelling van Pythagoras: $L=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

$f^{\prime }(x)=-2x$
De gevraagde omtrek is $3\sqrt{2}+\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+{(-2x)}^2}\text{d}x\approx \mathrm{10,37}$.

`2 * int_(-2)^2 sqrt(4 - x^2) text(d)x ~~ 12,57` .

`2 * int_(1)^2 sqrt(4 - x^2) text(d)x ~~ 2,46` .
De snijpunten van `x = 1` met de cirkel zijn `A(1,-sqrt(3))` en `B(1,sqrt(3))` .
Het vlakdeel vormt samen met driehoek `OAB` een cirkelsector.
De sectorhoek `AOB` is `120` ° dus de cirkelsector is éénderde deel van de hele cirkel en heeft daarom een oppervlakte van `1/3 * pi * 2^2 = 4/3 pi` . De oppervlakte van driehoek `OAB` is `sqrt(3)` . Dus het vlakdeel heeft een oppervlakte van `4/3 pi - sqrt(3) ~~ 2,46` .

De afgeleide van `f(x) = sqrt(4 - x^2)` is `f'(x) = (-x)/(sqrt(4 - x^2))` .
De omtrek van de cirkel is `2 * int_(-2)^2 sqrt(1 + ((-x)/(sqrt(4 - x^2)))^2) text(d)x = 2 * int_(-2)^2 sqrt(4/(4 - x^2)) text(d)x ~~ 12,57` .

De oppervlakte is `int_(-1)^2 (g(x) - f(x)) text(d)x = int_(-1)^2 (-2x^2 + 2x + 4) text(d)x` .
Dat geeft: ${\left[-\frac{2}{3}{x}^3+x^2+4x\right]}_{-1}^2=\left(-\frac{16}{3}+4+8\right)-\left(\frac{2}{3}+1-4\right)=9$.

De oppervlakte is `int_(2)^4 (f(x) - g(x)) text(d)x = int_(2)^4 (2x^2 - 2x - 4) text(d)x` .
Dat geeft: ${\left[\frac{2}{3}{x}^3-x^2-4x\right]}_2^4=\left(\frac{128}{3}-16-16\right)-\left(\frac{16}{3}-4-8\right)=17\frac{1}{3}$.

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\sqrt{1+{\left(3x^2-\frac{1}{12x^2}\right)}^2}\text{d}x\approx \mathrm{7,04}$

$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{1+{\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)}^2}\text{d}x=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\text{d}x\approx \mathrm{7,63}$

De nulpunten zijn: `(-3, 0), (-2, 0), (2, 0)` en `(3, 0)` .
De extremen zijn: max. `f(0) = 36` en min. `f(+-1/2 sqrt(26)) = -6,25` .

$\mathrm{opp}(V)=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-13x^2+36\right)\text{d}x$ geeft ${\left[\frac{1}{5}{x}^5-\frac{13}{3}{x}^3+36x\right]}_{-2}^2=87\frac{7}{15}$.

De raaklijn in `(3,0)` met `f'(3) = 30` heeft vergelijking `y = 30x - 90` .
$opp(W)=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^4-13x^2+36-30x+90\right)\text{d}x$ en dit geeft ${\left[\frac{1}{5}{x}^5-\frac{13}{3}{x}^3-15x^2+126x\right]}_0^3=\mathrm{174,6}$.

De grafieken snijden elkaar in `(-2,0)` en `(2,0)` . Verder gaat de grafiek van `g` ook door `(0,-4)` . Teken de lijn `x = p` , waarbij `-2 < p < 0` .
De oppervlakte van `Delta OAB` is `1/2 * -p * {: {:|:} AB {:|:} :} = -1/2 p * (f(p) - g(p)) = -1/2 p ((p^2 - 4)(2p + 1) - (p^2 - 4)) = -p^4 + 4p^2 = 3` .
Deze vergelijking is te ontbinden in `(p^2 - 3)(p^2 - 1) = 0` . Dit geeft als enige mogelijkheden `p = -1` of `p = -sqrt(3)` .

$\left(a{x}^2-4\right)\left(2x+1\right)=\left(a{x}^2-4\right)$ geeft $a{x}^2-4=0\vee 2x+1=1$ en dus $x=\pm \sqrt{\frac{4}{a}}\vee x=0$.
Nu kun je de oppervlaktes van de twee vlakdelen bepalen met behulp van primitiveren.
Na veel gedoe met haakjes vind je dat beide oppervlaktes gelijk zijn aan $\frac{8}{a}$.

Vensterinstellingen bijvoorbeeld `[0,12]xx[-2,3]` .

De snijpunten met de assen bereken je algebraïsch: `x + 3 - 4sqrt(x) = 0` geeft `4sqrt(x) = x + 3` en dus `16x = x^2 + 6x + 9` . Hieruit vind je `x = 1 vv x = 9` .
De raaklijn in `(1,0)` is `y = -x + 1` . De raaklijn in `(9,0)` is `y = 1/3 x - 3` .
Hun snijpunt (algebraïsch) is `(3,-2)` .
De oppervlakte van de gevraagde driehoek wordt daarom `1/2 * 8 * 2 = 8` .

De lengte is $\underset{1}{\overset{9}{\int }}\sqrt{1+{\left(1-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^2}\text{d}x=\underset{1}{\overset{9}{\int }}\sqrt{2-\frac{4}{\sqrt{x}}+\frac{4}{x}}\text{d}x\approx \mathrm{8,366164}$.

Nulpunten (algebraïsch) zijn $(2,0)$ en $(4,0)$.

$opp(G)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(4-4{(x-3)}^{-2}\right)\text{d}x={\left[4x+\frac{4}{x-3}\right]}_0^2=5\frac{1}{3}$

`f'(x) = 8/((x - 3)^3)` , dus de totale omtrek is `2 + 3 5/9 + int_0^2 sqrt(1 + (8/((x - 3)^3))^2) text(d)x ~~ 9,93` .

Doen.

$opp(G)=\underset{0}{\overset{\sqrt[3]{4}}{\int }}\left(4-x\sqrt{x}-2\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{\sqrt[3]{4}}{\int }}\left(2-x^{1\frac{1}{2}}\right)\text{d}x={\left[2x-\frac{2}{5}{x}^{2\frac{1}{2}}\right]}_0^{\sqrt[3]{4}}\approx \mathrm{1,90}$

$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{1+{\left(-\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}\right)}^2}\text{d}x=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\text{d}x={\left[\frac{2}{3}{\left(1+\frac{9}{4}x\right)}^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{4}{9}\right]}_1^4\approx \mathrm{7,63}$