Integraalrekening

Integraalrekening > Oppervlakte en lengte

123456Oppervlakte en lengte

Voorbeeld 2

Bereken de omtrek van het vlakdeel $V$ ingesloten door de grafieken van $f (x) = x^{2}$ en $g (x) = x^{4}$ op het interval $[0, 1]$ .

> antwoord

De omtrek van $V$ is de som van de lengte $L_{f}$ van de grafiek van $f$ op interval $[0, 1]$ en de lengte $L_{g}$ van de grafiek van $g$ op datzelfde interval.
Nu is $f^{'} (x) = 2 x$ en $g^{'} (x) = 4 x^{3}$ .
En dus is de omtrek van $V$ :

$L = L_{f} + L_{g} = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(4 x^{3})}^{2}} d x$

Beide integralen zijn alleen met de grafische rekenmachine te bepalen.
Ga na dat de omtrek van $V$ ongeveer $1,479 + 1,600 = 3,079$ .

Opgave 4

Gegeven zijn de functies $f (x) = 4 - x^{2}$ en $g (x) = x + 2$ .

Bereken lengte van de grafiek van $g$ op het interval $[-2, 1]$ met behulp van integreren. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3.

Omdat de grafiek van $g$ op het interval $[-2, 1]$ een lijnstuk is, kun je deze lengte ook berekenen met behulp van meetkundige technieken. Ga na, dat je daarmee dezelfde uitkomst krijgt.

Bereken de omtrek van het vlakdeel $V$ ingesloten door de grafieken van beide functies.

verder | terug