Integraalrekening

Integraalrekening > Omwentelingslichamen

Overzicht

123456Omwentelingslichamen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Doen, bekijk de figuren.

Bekijk de figuur en doorloop de diverse stappen.

Doen.

$I = \int_{0}^{20} π {(0,25 x)}^{2} d x$

Opgave 2

$\int_{- 2}^{2} π \cdot {(4 - x^{2})}^{2} d x = \int_{- 2}^{2} π \cdot (16 - 8 x^{2} + x^{4}) d x = {[π \cdot (16 x - \frac{8}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5})]}_{- 2}^{2} = \frac{512}{15} π$ .

Opgave 3

`y = 4 - x^2` wordt `x = +-sqrt(4 - y)` en de integraal wordt `int_0^4 pi x^2 text(d)y` .

`int_0^4 pi(sqrt(4 - y))^2 text(d)y = int_0^4 pi(4 - y) text(d)y = [pi(4y - 0,5y^2)]_(0)^(4) = 8pi` .

Opgave 4

De lijn $y = \frac{r}{h} \cdot x$ gaat door $(0, 0)$ en $(h, r)$ . Deze lijn wentelen om de $x$ -as geeft de gewenste kegel.

`int_0^h pi * (r/h x)^2 text(d)x = int_0^y (pi r^2)/(h^2) * x^2 text(d)x = [(pi r^2)/(h^2) * 1/3 x^3]_(0)^(h) = (pi r^2)/(h^2) * 1/3 h^3 = 1/3pi r^2 h` .

`int_0^h pi * r^2 text(d)x = [pi r^2 * x]_(0)^(h) = pi r^2 h` .

Opgave 5

Door $I (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$ te differentiëren.

Het gaat bij een kegel en een cilinder over twee variabelen $r$ en $h$ en niet zoals bij de bol maar om ééntje. De oppervlakte van die twee lichamen bepaal je meetkundig. Een cilinder is een rechthoek met lengte $2 π r$ en hoogte $h$ . Een kegel is het $\frac{r}{\sqrt{r^{2} + h^{2}}}$ deel van een cirkel met straal $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ .

Opgave 6

Je krijgt een ringvormig lichaam.

`int_0^1 pi * (4 - x^2)^2 text(d)x - int_0^1 pi * (4 - x)^2 text(d)x = int_0^1 pi * (16 - 8x^2 + x^4) text(d)x - int_0^1 pi * (4 - x)^2 text(d)x` .
Primitiveren geeft: `[pi * (16x - 8/3 x^3 + 1/5 x^5)]_(0)^(1) - [pi * (4x - 1/2 x^2)]_(0)^(1) = 919/30 pi` .

$h (x) = f (x) - g (x)$ is een functie waarvan de functiewaarden dichter bij de $x$ -as liggen dan die van $f$ en $g$ afzonderlijk. Bij het wentelen om de $x$ -as maak je dan een sommatie van schijfjes met een veel te kleine straal.

Opgave 7

Je krijgt nu een paraboloïde waar een kegel uit weg is gesneden.

`int_3^4 pi(sqrt(4 - y))^2 text(d)x - int_3^4 pi(4 - y)^2 text(d)y = int_3^4 pi(4 - y) text(d)x - int_3^4 pi(16 - 8y + y^2)^2 text(d)y` .
Primitiveren geeft: `[pi * (4y - 1/2 y^2)]_(3)^(4) - [pi * (16y - 4 y^2 + 1/3 y^3)]_(3)^(4) = 1/6 pi` .

Opgave 8

`int_1^6 pi(x^2 - 7x + 6)^2 text(d)x = 104 1/6 pi` .

`int_0^4 pi(x + 4 - 4x^(0,5))^2 text(d)x = 64/15 pi` .

`int_2^4 pi(8/x)^2 text(d)x = [pi * - 64/x]_(2)^(4) = 16 pi` .

Opgave 9

Eerst $y = x^{3}$ herleiden tot $x = \sqrt[3]{y}$ .
Dan: `int_0^4 pi(root[3](y))^2 text(d)y = int_0^4 pi * y^(2/3) text(d)y = [pi * 3/5 y^(5/3)]_(0)^(4) = 2,4pi root[3](16)` .

Eerst raaklijn opstellen door `O` en `(p, 1/2 p^2 + 8)` met richtingscoëfficiënt `f'(p) = p` . Dit geeft `p = +-4` . De raaklijnen worden `y = +-4x` .
Nu `y = 1/2 x^2 + 8` herleiden tot `x = +-sqrt(2y - 16)` en `y = 4x` herleiden tot `x = 0,25y` .
De inhoud wordt `int_0^16 pi(0,25y)^2 text(d)y - int_8^16 pi(sqrt(2y - 16))^2 text(d)y = 21 1/3 pi` .

Opgave 10

Verschuif je de grafiek van `f` drie eenheden naar beneden dan kun je het vlakdeel `V` wentelen om de `x` -as. De verschoven functie heeft het functievoorschrift: `g(x) = x - 4sqrt(x)` .
De gevraagde inhoud wordt:
`int_0^(16) pi(x - 4sqrt(x))^2 text(d)x = int_0^(16) pi(x^2 - 8x^(1,5) + 16x)^2 text(d)x = [pi(1/3 x^3 - 16/5 x^(2,5) + 8x^2)]_(0)^(16) = 136 8/15 pi` .

Opgave 11

`text(opp)(G) = int_0^3 (-(x - 2)^2 + 6 - x^2 + 2x - 2) text(d)x = int_0^3 (-2x^2 + 6x) text(d)x = [-2/3 x^3 + 3x^2]_(0)^(3) = 9` .

`I = int_0^3 pi(-(x - 2)^2 + 6)^2 text(d)x - int_0^3 pi(x^2 - 2x + 2)^2 text(d)x = [pi(-x^4 + 4/3x^3 + 12x^2)]_(0)^(3) = 63pi` .

Opgave 12

`int_a^r pi(sqrt(r^2 - x^2))^2 text(d)x = int_a^r pi(r^2 - x^2) text(d)x = [pi(r^2 x - 1/3 x^3)]_(a)^(r) = 2/3 pi r^3 - pi r^2 a + 1/3 pi a^3` .

Je krijgt de bedoelde kegel door `y = (sqrt(r^2 - a^2))/a * x` te wentelen om de `x` -as.
Dit geeft: `int_0^a pi((sqrt(r^2 - a^2))/a * x)^2 text(d)x = int_0^a pi((r^2 - a^2)/(a^2) * x^2) text(d)x = [pi((r^2 - a^2)/(a^2) * 1/3 x^3)]_(0)^(a) = 1/3 pi r^2 a - 1/3 pi a^3` .
De totale bolsector heeft dan als inhoud: `2/3 pi r^2 (r - a)` .

Opgave 13

Merk eerst op dat `q = sqrt(p)` .
Nu is de inhoud van het lichaam dat ontstaat door `V` om de `x` -as te wentelen `int_0^p pi(sqrt(x))^2 text(d)x = pi p` .
Verder is de inhoud van het lichaam dat ontstaat door `W` om de `y` -as te wentelen `int_0^(sqrt(p)) pi(y^2)^2 text(d)y = 1/5 pi (sqrt(p))^5` .
Dus moet: `pi p = 1/5 pi (sqrt(p))^5` zodat `5p = p^2 sqrt(p)` en dit geeft `p = 0 vv p = root[3](25)` .

Opgave 14

Nulpunten (algebraïsch) zijn $(\pm 1, 0)$ , verticale asymptoot $x = 0$ , horizontale asymptoot $y = 2$ .

`text(opp)(V) = int_1^3 (x - (2 - 2/(x^2))) text(d)x = [1/2 x^2 - 2x - 2/x]_(1)^(3) = 1 1/3` .

`I = int_1^3 pi x^2 text(d)x - int_1^3 pi (2 - 2/(x^2))^2 text(d)x = [pi(1/3 x^3 - (4x + 8/x - 2/(x^2)))]_(1)^(3) = 4 2/9 pi` .

Opgave 15

Eerst $y = 4 - x \sqrt{x}$ herleiden naar $y = {(4 - y)}^{\frac{2}{3}}$ .
De gevraagde inhoud is $\int_{2}^{4} π {({(4 - y)}^{\frac{2}{3}})}^{2} d x = {[- \frac{3}{7} π {(4 - y)}^{\frac{7}{3}}]}_{2}^{4} = \frac{12}{7} π \sqrt[3]{2}$ .

verder | terug