Integraalrekening

Opgave 8

Bereken met behulp van primitiveren de inhoud van de omwentelingslichamen, die ontstaan bij wenteling om de $x$ -as van de vlakdelen, begrensd door:

a

de $x$ -as en de grafiek van de functie $f (x) = x^{2} - 7 x + 6$ ;

b

de $x$ -as, de $y$ -as en de grafiek van de functie $f (x) = x + 4 - 4 \sqrt{x}$ ;

c

de $x$ -as, de grafiek van de functie $f (x) = \frac{8}{x}$ en de lijnen $x = 2$ en $x = 4$ .

Opgave 9

Bereken met behulp van primitiveren de inhoud van de omwentelingslichamen, die ontstaan bij wenteling om de $y$ -as van de vlakdelen, begrensd door:

a

de grafiek van de functie $f (x) = x^{3}$ , de $y$ -as en de lijn $y = 4$ ;

b

de $y$ -as, de grafiek van de functie $f (x) = 0,5 x^{2} + 8$ en een raaklijn uit $O$ aan de grafiek van $f$ .

Opgave 10

Gegeven is de functie `f(x) = x + 3 - 4 sqrt(x)` .
`V` is het vlakdeel begrensd door de grafiek van `f` en de lijn `y = 3` .

Bereken exact de inhoud van het lichaam dat ontstaat door `V` te wentelen om de lijn `y = 3` .

Opgave 11

Gegeven zijn de functies $f (x) = 6 - {(x - 2)}^{2}$ en $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ .
$G$ is het gebied dat door beide grafieken wordt ingesloten.

a

Bereken exact de oppervlakte van $G$ .

b

$G$ wordt om de $x$ -as gewenteld. Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.

Opgave 12

Een bol ontstaat door de functie $f (x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ om de $x$ -as te wentelen op het interval $[- r, r]$ .
Neem nu het getal $a$ met $0 < a < r$ .

a

Je wentelt het gebied ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as met $a \leq x \leq r$ om de $x$ -as. Het lichaam dat zo onstaat heet een bolsegment. Stel met behulp van primitiveren een formule op voor de inhoud van zo'n bolsegment.

b

Wanneer je aan het bolsegment een kegel toevoegt met de top in $O (0, 0)$ , hoogte $a$ en straal $\sqrt{r^{2} - a^{2}}$ dan heb je een bolsector. Stel met behulp van primitiveren een formule op voor de inhoud van zo'n bolsector.

Opgave 13

Gegeven is de functie `f` met `f(x) = sqrt(x)` .
De lijn met vergelijking `x = p` snijdt de grafiek van `f` in `A` . De lijn `y = q` gaat door `A` .
`V` is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van `f` , de `x` -as en de lijn `x = p` .
`W` is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van `f` , de `y` -as en de lijn `y = q` .
De inhoud van het omwentelingslichaam dat onstaat door `V` om de `x` -as te wentelen is gelijk aan de inhoud die ontstaat door `W` om de `y` -as te wentelen.

Bereken `p` .

Verwerken