Integraalrekening

Integraalrekening > Omwentelingslichamen

123456Omwentelingslichamen

Voorbeeld 1

Een bol met straal $r$ en middelpunt $O$ ontstaat door de grafiek van $f (x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ op het interval $[- r, r]$ om de $x$ -as te wentelen.
Stel een formule op voor de inhoud en één voor de oppervlakte van die bol.

> antwoord

Voor de inhoud van de bol geldt:
$I (r) = {\int_{- r}^{r} π (\sqrt{r^{2} - x^{2}})}^{2} d x = \int_{- r}^{r} π(r^{2} - x^{2}) d x = \frac{4}{3} π r^{3}$ .

De oppervlakte $A (r)$ van de bol kun je uit $I (r)$ afleiden.
Bedenk, dat bij toename van $r$ met een heel klein beetje $∆ r = h$ de inhoud toeneemt met $I (r + h) - I (r)$ . De oppervlakte van deze laag met een dikte $h$ is ongeveer de gevraagde oppervlakte en gelijk aan $\frac{I (r + h) - I (r)}{h}$ .
Deze benadering wordt beter naarmate $h$ naar $0$ nadert.
En daarom is $A (r) = \lim_{h \to 0} \frac{I (r + h) - I (r)}{h} = I' (r)$ .
Dit betekent dat de oppervlakte van de bol is: $A (r) = 4 π r^{2}$ .

Opgave 4

In Voorbeeld 1 wordt de inhoud van een bol met straal $r$ berekend. Je kunt op dezelfde manier een formule opstellen voor de inhoud van een kegel met straal $r$ en hoogte $h$ . Je begint dan met de lijn $y = \frac{r}{h} x$ op het interval $[0, h]$ en wentelt het vlakdeel ingesloten door die lijn, de $x$ -as en de lijn $x = h$ om de $x$ -as.

Leg uit waarom de hierboven gegeven vergelijking geschikt is voor de beschreven kegel.

Stel nu door primitiveren een formule op voor de inhoud van de kegel.

Stel ook door primitiveren een formule op voor de inhoud van een cilinder met straal $r$ en hoogte $h$ .

Opgave 5

In Voorbeeld 1 wordt ook een formule afgeleid voor de oppervlakte van een bol met straal $r$ .

Hoe volgt de formule voor de oppervlakte van een bol uit die voor de inhoud?

Waarom lukt dit niet bij de kegel en de cilinder? Hoe kun je daar toch de oppervlakte van berekenen?

verder | terug