Integraalrekening

Integraalrekening > Omwentelingslichamen

123456Omwentelingslichamen

Voorbeeld 2

Hier zie je het vlakdeel(tje) ingesloten door de grafieken van $f (x) = 4 - x^{2}$ en $g (x) = 4 - x$ .
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door $V$ om de $x$ -as te wentelen.

> antwoord

Eerst bereken je de snijpunten van de grafieken: $(0, 4)$ en $(1, 3)$ .

Vervolgens constateer je dat het omwentelingslichaam een soort van ring wordt: uit het lichaam dat ontstaat door de grafiek van $f$ op $[0, 1]$ om de $x$ -as te wentelen wordt het lichaam dat ontstaat door de grafiek van $g$ op $[0, 1]$ om de $x$ -as te wentelen weg geboord.
De gevraagde inhoud is daarom:
$I = \int_{0}^{1} π {(4 - x^{2})}^{2} d x - \int_{0}^{1} π {(4 - x)}^{2} d x$

Door haakjes uitwerken en primitiveren vind je: $I = 1,2 π$ .

Opgave 6

Bestudeer nu eerst Voorbeeld 2.

Schets het omwentelingslichaam dat ontstaat door $V$ om de $x$ -as te wentelen.

Bereken zelf door haakjes uitwerken en primitiveren de inhoud van het omwentelingslichaam.

Waarom is het niet mogelijk om de inhoud van dit lichaam te berekenen met `int_0^1 pi(f(x) - g(x))^2 text(d)x` ?

verder | terug