Integraalrekening

Opgave 1

Gegeven is de functie $f (x) = - \frac{1}{2} x + 4$ op het interval $[-2, 2]$ .

a

Verdeel het interval $[-2, 2]$ in vier gelijke deelintervallen, en bereken de onder- en de bovensom bij deze verdeling.

b

Bereken het verschil tussen onder- en bovensom als je het interval in acht gelijke deelintervallen verdeelt.

Opgave 2

Bepaal de functie $F$ waarvoor geldt:

a

`F'(x) = x sqrt(x)` met `F(4) = 0` .

b

`F'(x) = 1/(sqrt(1 + 4x))` met `F(2) = 0` .

c

`F'(x) = 1/(x^2) + 1/((3 - 2x)^2)` met `F(2) = 0` .

Opgave 3

Bepaal de volgende onbepaalde integralen:

a

$\int x^{2} \sqrt{2 x} d x$

b

$\int {(x^{2} - 4)}^{2} d x$

c

`int x sqrt(2 + x^2) text(d)x`

Opgave 4

Bereken het exacte antwoord van deze bepaalde integralen en controleer je antwoorden met de rekenmachine:

a

`int_1^8 7 root[3](x) text(d)x`

b

`int_0^2 2/((1 + 2x)^2) text(d)x`

c

`int_1^4 3/(sqrt(x)) - 5 sqrt(x) text(d)x`

Opgave 5

Gegeven is de functie $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 4$ .

a

Bereken: $\int_{0}^{6} f (x) d x$ .

b

Bepaal de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as op het interval $[0, 6]$ .

c

Waarom heb je bij a en b niet hetzelfde antwoord gekregen? Verklaar het verschil.

d

Bereken de lengte van de parabool tussen zijn twee snijpunten met de assen in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 6

Gegeven is de functie $f (x) = \sqrt{3 - x}$ .
Er is een getal $a$ zodat de oppervlakte van het gebied dat ingesloten wordt door de grafiek van $f$ en de $x$ -as op het interval $[a, 3]$ gelijk is aan $18$ .

a

Bereken $a$ .

Er is ook een getal $b$ zodat de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as op het interval $[0, b]$ even groot is dan de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van $f$ en de $x$ -as op het interval $[b, 3]$ .

b

Benader $b$ in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 7

Als je de grafiek van de functie $f (x) = \frac{1}{x}$ op het interval $[1, p]$ wentelt om de $x$ -as dan ontstaat een figuur met de vorm van een soort toeter.

a

Laat zien dat de inhoud van deze toeter gelijk is aan: $I = π \cdot (1 - \frac{1}{p})$ .

Als $p$ oneindig groot wordt dan ontstaat een oneindig lange toeter. Toch is de inhoud van deze toeter niet oneindig groot.

b

Bepaal de inhoud van deze oneindige toeter.

Opgave 8

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x^{3}$ .
Door de grafiek op $[0, p]$ om de $x$ -as te wentelen ontstaat een omwentelingslichaam $a$ .
Door de grafiek op $[0, p]$ om de $y$ -as te wentelen ontstaat een omwentelingslichaam $b$ .
Beide omwentelingslichamen hebben hetzelfde volume.

Bereken $p$ .

Opgave 9

De punten $P (x, y)$ die voldoen aan de vergelijking $x^{2} + 4 y^{2} = 16$ liggen op een ellips.

a

Met welke twee functievoorschriften kun je deze ellips beschrijven?

b

Bereken de oppervlakte van deze ellips in twee decimalen nauwkeurig.

c

Bereken de omtrek van deze ellips in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 10Benzineverbruik

Benzineverbruik

Een auto die met een snelheid van $20$ m/s rijdt, trekt $5$ seconden op met een versnelling van $2$ m/s². Na die $50$ sesonden is de snelheid van de auto $30$ m/s.

a

Stel een formule op waarmee je de snelheid tijdens die $5$ seconden kunt berekenen.

b

Hoeveel meter legt de auto in die tijd af?

c

Ga na dat de auto in $1$ uur $5,75$ liter benzine verbruikt als de snelheid tijdens dat uur $20$ m/s is.

d

Laat zien dat het verbruik in de tijdsperiode $[t, t + ∆ t]$ ongeveer gelijk is aan: $(1,3 \cdot 10^{-7} {(20 + 2 t)}^{2} - 3,6 \cdot 10^{-6} (20 + 2 t) + 10^{-4} (20 + 2 t)) \cdot (20 + 2 t) \cdot ∆ t$ .

e

Bereken met een integraal het benzineverbruik in die $5$ seconden. Gebruik daarbij de grafische rekenmachine.

Testen