Exponentiële en logaritmische functies > Het getal eAntwoorden van de opgaven
Y2 is een benadering van de helling op een heel klein interval met beginwaarde en daarom een benadering van de hellingwaarde voor die waarde van .
Beide grafieken hebben dezelfde vorm.
De grafiek van Y3 is een horizontale lijn, dus deze functie heeft steeds dezelfde uitkomst. Kennelijk is Y1 recht evenredig met Y2.
Y2 = c ⋅ Y1. Dat geldt ook als het gerondtal een ander getal is.
Nee.
Doen.
Je vindt `c ~~ 0,92` .
Nu vind je achtereenvolgens `c ~~ 0,99` en `c ~~ 1,03` .
Ja, dat lijkt er inderdaad te zijn. Dit getal is ongeveer `2,72` (als je voor niet meer dan twee decimalen gaat).
Het mooiste is het maken van een applet in GeoGebra waarin je `h` steeds dichter naar `0` laat komen bij verschillende waarden van `g` (en `x` ?).
Je kunt in de formule bij a een factor `g^x` buiten haakjes halen.
`(g^(h) - 1)/(h)` hangt niet van `x` af en zal dus voor elke `x` dezelfde waarde hebben.
Als `h rarr 0` (neem bijvoorbeeld `h = 0,0000001` ) dan moet `(text(e)^(h) - 1)/(h) rarr 1` . Dit lukt steeds beter als je voor `text(e)` de juiste waarde invult: `text(e) ~~ 2,7218` .
Als Y1=e^(X), of iets dergelijks. Horizontale asymptoot `y = 0` .
Dat is de `y` -waarde bij `x = 1` .
`x ~~ 2,30` (los `f(x) = 10` op met de GR door de twee grafieken te snijden).
Doen.
Je vindt `x = ln(20) ~~ 2,996` .
Gebruik ook de grafiek. Je vindt `-3,912 ≤ x ≤ 3,912` .
Het hellingsgetal in dit punt is `text(e)` en de vergelijking van de raaklijn is `y = text(e)x - text(e)` .
`f'(3) = text(e)^3` en `f(3) = text(e)^3` dus `y = text(e)^3 x - text(e)^3` .
Doen.
Je vindt `-20 ≤ x ≤ ln(20)` .
`2^x = 1/(8 sqrt(2)) = 2^(-3,5)` dus `x = -3,5` .
`text(e)^x = 1/(text(e)^3 sqrt(text(e))) = text(e)^(-3,5)` dus `x = -3,5` .
`5text(e)^x = 125` geeft `text(e)^x = 25` dus `x = ln(25) ~~ 3,219` .
`8text(e)^x = (2text(e) sqrt(text(e)))^3 = 8text(e)^(4,5)` geeft `x = 4,5` .
Bij `y = 1` hoort `x = text(e)` .
Het domein van `f` kunt is het bereik van `g(x) = text(e)^x` en het bereik van `f` is het domein van `g` .
`x = text(e)^5 ~~ 148,4` .
`0,007 ≤ x ≤ 148,413` .
`f'(x) = -2 * {: text(e)^x :}`
`f'(x) = 3text(e)^(3x)`
`f'(x) = -text(e)^(3 - x)`
`f'(x) = x text(e)^x + text(e)^x`
`f'(x) = (text(e)^x - xtext(e)^x)/((text(e)^x)^2) = (1 - x)/(text(e)^x)`
`f'(x) = 2x text(e)^(x^2)`