Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Het getal e

123456Het getal e

Uitleg

Bekijk de applet.

Bij exponentiële groei gaat het om functies van de vorm $f (x) = b \cdot g^{x}$ . Neem je $b = f (0) = 1$ , dan hebben deze functies de vorm $f (x) = g^{x}$ . Ga na dat de helling van de grafiek, de groeisnelheid per eenheid, af hangt van de grootte van $g$ . Neem je bijvoorbeeld $x = 1$ , dan zie je de helling groter worden als $g$ groter wordt.
Neem je bijvoorbeeld $g = 2$ dan zie je dat de helling voor elke $x$ recht evenredig is met $f (x)$ : $f^{'} (x) = c \cdot g^{x}$ .

Voor $g = 2$ geldt: $c \approx 0,69$ .
Dus als $f (x) = 2^{x}$ dan is $f^{'} (x) \approx 0,69 \cdot 2^{x}$ .
Voor $g = 3$ geldt: $c \approx 1,10$ .
Dus als $f (x) = 3^{x}$ dan is $f^{'} (x) \approx 1,10 \cdot 3^{x}$ .

Er lijkt een waarde van $g$ te bestaan (tussen $2$ en $3$ ) waarvoor geldt dat $c = 1$ . Ga na, dat dit bij $g \approx 2,7$ het geval is. Het getal waarbij dit PRECIES het geval is, is net zo'n bijzonder getal als $π$ . Dit getal heeft de letter $e$ gekregen: $e \approx 2,71828...$
Voor dit getal geldt: als $f (x) = e^{x}$ , dan is $f^{'} (x) = e^{x}$ .

Met $f (x) = e^{x}$ reken je net als met alle exponentiële functies. Er hoort dus ook een logaritme met grondtal $e$ bij...

Opgave 2

Lees eerst de Uitleg goed door. In het algemeen geldt: Als `f(x) = g^x` dan is `f'(x) = c * g^x` .

Bekijk de grafiek van `f(x) = 3^x` en (een benadering van) zijn afgeleide. Laat zien dat `f'(x) ~~ 1,10 * 3^x` , dus `c ~~ 1,10` .

Bekijk de grafiek van `f(x) = 2,5^x` en (een benadering van) zijn afgeleide. Bepaal nu zelf de bijpassende waarde van `c` .

Doe ditzelfde ook voor `f(x) = 2,7^x` en `f(x) = 2,8^x` .

Is er een getal `g` waarvoor `c = 1` ? Hoe groot is dit getal ongeveer?

Opgave 3

Gegeven de functie `f(x) = g^x` . De verandering van `f` op een klein interval `[x, x + h]` is: `(Delta y)/(Delta x) = (g^(x + h) - g^x)/(h)` .

Leg dat met behulp van een figuur uit. (Maak eventueel een eigen applet in GeoGebra!)

Laat zien, dat `(Delta y)/(Delta x) = (g^(h) - 1)/(h) * g^x` .

Waarom kun je hieruit afgeleiden dat `f'(x) = c * g^x` ?

Neem `g = text(e)` en bepaal met behulp van het antwoord van b de waarde van `text(e)` .

Opgave 4

Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = text(e)^x` .

Hoe voer je die grafiek in je grafische rekenmachine in? Welke asymptoot heeft die grafiek?

Waar in de grafiek vind je het getal `text(e)` ?

Los met je grafische rekenmachine op `text(e)^x = 10` . Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

De exacte oplossing van `text(e)^x = 10` is gelijk aan $x = {}^{e} log (10)$ .

Laat zien dat je zo dezelfde waarde voor `x` vindt als bij c.

In plaats van $x = {}^{e} log (...)$ wordt in de wiskunde `ln(...)` gebruikt. Je rekenmachine heeft een speciale toets voor `ln(...)` .

Los nu zowel exact als in drie decimalen nauwkeurig op: `text(e)^x = 20` .

Los op: `1/50 ≤ text(e)^x ≤ 50` . Geef benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.

Welk hellingsgetal heeft de grafiek van `f(x) = text(e)^x` in het punt `(1,text(e))` ? Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

verder | terug