Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Het getal e

123456Het getal e

Theorie

Bekijk de applet.

De afgeleide van de exponentiële functie $f (x) = g^{x}$ vind je door de functie met een factor afhankelijk van $g$ te vermenigvuldigen.
Als $f (x) = g^{x}$ dan is $f^{'} (x) = c_{g} \cdot g^{x}$ .

> bewijs

$f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g^{x + h} - g^{x}}{h} = \lim_{h \to 0} g^{x} \cdot \frac{g^{h} - 1}{h}$ .

Dus is $f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} g^{x} \cdot \frac{g^{h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g^{h} - 1}{h} \cdot g^{x} = c_{g} \cdot g^{x}$ .

Hierin is $c_{g}$ een constante die van $g$ afhangt.

Deze constante neemt voor $g = e$ de waarde $1$ aan als $\lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1$ .
Door deze limiet wordt het getal $e$ vastgelegd. Je zou benaderingen voor $e$ kunnen vinden door hele kleine getallen voor $h$ te kiezen. Probeer maar...
Voor $h = 0,0001$ vind je $e \approx 2.718145927$ .

Er bestaat een waarde van $g$ waarvoor geldt dat $c_{g} = 1$ .
Deze natuurlijke groeifactor is het getal e.
Een benadering voor $e$ is: $e = 2,71828...$

Als $f (x) = e^{x}$ , dan is $f^{'} (x) = e^{x}$ .

Met $f (x) = e^{x}$ reken je net als met alle exponentiële functies. Op je rekenmachine zit er een speciale toets voor. En er hoort ook een logaritme met grondtal $e$ bij...

Ook nu is $e^{x} = a$ gelijkwaardig met $x = {}^{e} log (a)$ .
In plaats van ${}^{e} log (a)$ schrijf je $ln (a)$ .
$ln (a)$ is de natuurlijke logaritme van $a$ .
De functies $y = e^{x}$ en $y = ln (x)$ zijn elkaars inverse functies. De grafieken daarvan zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegelen in de lijn $y = x$ .

verder | terug