Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Exponentiële functies

123456Exponentiële functies

Voorbeeld 2

Radioactieve stoffen zijn stoffen die straling uitzenden. Bij dergelijke stoffen zijn de atoomkernen instabiel, bijvoorbeeld doordat er te veel protonen en/of neutronen in zitten. Een natuurlijke radioactieve stof is de radiumisotoop ${}_{88}^{226} Ra$ . Bij deze stof zendt elke atoomkern een α-deeltje (een heliumkern) uit, waardoor hij overgaat in een atoom van het element radon: ${}_{86}^{222} Rn$ . De halfwaardetijd van dit radium is ongeveer $1600$ jaar. In die tijd wordt de helft van de radiumatomen omgezet in radon. Het percentage radium neemt voortdurend af (vanaf $100$ %).
Beschrijf het verval van radium op drie manieren met een formule.

> antwoord

Neem $t = 0$ op 1-1-1900 en $t$ in jaren en noem het percentage radium $N$ . Het verval van dit radium kun je dan beschrijven met een formule van de vorm:

$N (t) = N (0) \cdot g^{t}$ met $N (0) = 100$ en $g^{1600} = 0,5$ .
Dit wordt: $N (t) \approx 100 \cdot {0,9996}^{t}$
$N (t) = N (0) \cdot e^{k t}$ met $N (0) = 100$ en $e^{1600 k} = 0,5$ .
Dit wordt: $N (t) \approx 100 \cdot e^{-0,00043 t}$
$N (t) = N (0) \cdot 10^{k t}$ met $N (0) = 100$ en $10^{1600 k} = 0,5$ .
Dit wordt: $N (t) \approx 100 \cdot 10^{-0,00019 t}$

Opgave 6

Bekijk Voorbeeld 2.

Reken de drie gevonden vervalformules zelf na.

Bereken met elk van de drie gevonden vervalformules de vervalsnelheid op `t = 0` .

Bereken ook de vervalsnelheid op `t = 90` . Wat gebeurt er met de vervalsnelheid als `t` toeneemt?

In welk jaar is er nog `20` % van de beginhoeveelheid radium over als er verder niemand aan komt?

Opgave 7

Differentieer de volgende functies en stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 1` .

`f(x) = 4 * 3^(2x - 4) - 12`

`f(x) = (text(e)^(2x) - 1)/(text(e)^x)`

`f(x) = text(e)^(1/x)`

`f(x) = (text(e)^(-x^2))/(x^3)`

verder | terug