Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Exponentiële functies

Overzicht

123456Exponentiële functies

Voorbeeld 3

Bereken algebraïsch de extremen van de functie $f$ met $f (x) = (x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

> antwoord

Bekijk eerst de grafiek van $f$ , bijvoorbeeld met de GR.

$f^{'} (x) = (2 x + 2) \cdot e^{- x} + (x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x} \cdot -1 = (2 - x^{2}) \cdot e^{- x}$ .

Voor de extremen los je op: $f^{'} (x) = 0$ .
Ga na, dat je vindt: $x = - \sqrt{2} \lor x = \sqrt{2}$ .
De extremen zijn:
min. $f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) e^{\sqrt{2}}$ en max. $f (\sqrt{2}) = (2 + 2 \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}}$ .

Opgave 8

Gegeven is de functie `f` met `f(x) = xtext(e)^(-x)` .

Bereken algebraïsch alle karakteristieken van de grafiek van `f` . Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3.

Bereken het buigpunt van de grafiek van `f` en stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in dit buigpunt.

De functie `f_a` wordt gegeven door `f_a(x) = axtext(e)^(-x)` .

Hebben alle functies `f_a` een uiterste waarde? Zo ja, druk die uiterste waarde dan uit in `a` .

Op welke rechte lijn liggen alle toppen van functies `f_a` ?

Voor welke `a` is de uiterste waarde van `f_a` gelijk aan `80` ?

Voor welke `a` gaat de raaklijn aan de grafiek van `f_a` in `(0,0)` ook door het punt `(2,15)` ?

Voor welke `a` ligt het buigpunt van de grafiek van `f_a` op de lijn `y = 20` ?

Opgave 9

Bij benzinestations is vaak een extra service beschikbaar om de autobanden op te pompen. De automatische pomp levert een druk van `3,5` atmosfeer. De luchtdrukverandering in de band is recht evenredig met het drukverschil tussen de luchtdruk in de band en de luchtdruk van de pomp. De luchtdruk in de band begint met `1,4` atmosfeer en is na `10` seconden pompen opgelopen tot `2,0` atmosfeer.

De luchtdruk `p` in de band (in atmosfeer) hangt gedurende het oppompen af van de tijd `t` in seconden. Schets een passende grafiek bij dit verband.

`p(t)` kan worden beschreven door een formule van de vorm: `p(t) = 3,5 - a * g^t` .

Bereken `a` en `g` .

Je stopt de pomp als de druk in de band `2,6` atmosfeer bedraagt. Na hoeveel seconden is dat het geval?

Bereken de snelheid waarmee de druk in de band toeneemt op `t = 0` .

Opgave 10

Zowel in de atmosfeer als in levende organismen bevindt zich een bepaald percentage aan radioactieve koolstof C-14. Zodra een organisme sterft vindt er geen uitwisseling met de koolstof uit de atmosfeer meer plaats. Het percentage C-14 neemt vanaf dat moment exponentieel af met een halveringstijd van ongeveer `5600` jaar. Omdat alle levende organismen eenzelfde gehalte aan C-14 hebben, stelt dit ons in staat de ouderdom te bepalen van natuurlijke materialen als perkament, leren kleding, houten palen en dergelijke.
Het gehalte `C(t)` aan C-14 is gegeven als percentage van het gehalte in levende organismen. `t` is de tijd in jaren met `t = 0` op het moment dat het organisme is gestorven.

Stel een formule op voor `C(t)` van de vorm `C(t) = 100 * text(e)^(kt)` . Bereken `k` in zes decimalen nauwkeurig.

Van de Dode-Zeerollen is het gehalte aan C-14 nog `79` %. Hoe oud zijn ze?

Van een mummie is nog `65` % van het gehalte aan C-14 over. Hoe oud is die mummie?

Van een Indianensandaal uit een grot in Amerika is nog `33` % van het gehalte aan C-14 over. Hoe oud is die sandaal?

verder | terug