Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Exponentiële functies

123456Exponentiële functies

Theorie

Voor de afgeleide van de exponentiële functie geldt:

Als $f (x) = g^{x}$ dan is $f^{'} (x) = g^{x} \cdot ln (g)$ .

> bewijs

Omdat: $f (x) = g^{x} = {(e^{ln (g)})}^{x} = e^{ln (g) \cdot x}$ kun je $f$ met behulp van de kettingregel differentiëren, het grondtal is nu namelijk $e$ .
Je vindt: $f^{'} (x) = e^{ln (g) \cdot x} \cdot ln (g)$ .
En dit kun je weer schrijven als $f^{'} (x) = g^{x} \cdot ln (g)$ .

Hierbij maak je gebruik van het veranderen van grondtal: $g = e^{ln (g)}$ . (Denk er om dat $g > 0$ moet zijn.)
Dit is één van de definitieformules van logaritmen, toegepast op het getal $e$ .

Hiermee kun je elke exponentiële functie $N$ met groeifactor $g$ per tijdseenheid $t$ op meerdere manieren schrijven:

$N (t) = N (0) \cdot g^{t}$
$N (t) = N (0) \cdot e^{k t}$ waarin $k = ln (g)$
$N (t) = N (0) \cdot 10^{k t}$ waarin $k = log (g)$

Dat is handig als je met meerdere exponentiële functies met verschillende groeifactoren te maken hebt. Je kunt ze dan toch steeds hetzelfde grondtal geven, $e$ of $10$ .

Verder kun je nu allerlei functies waarin vormen als $e^{x}$ en/of $g^{x}$ voorkomen differentiëren met de differentieerregels. Daarmee kun je van functies die ingewikkelder zijn dan zuiver exponentiële functies ook de karakteristieken bepalen.

verder | terug