$f\prime \left(x\right)=\frac{1}{5x}\cdot 5=\frac{1}{x}$ en $f\prime \left(10\right)=\mathrm{0,1}$.

$f\prime \left(x\right)=\frac{3}{4-x}\cdot -1=\frac{-3}{4-x}$ en $f\prime \left(10\right)=\mathrm{0,5}$.

$f\left(x\right)=\mathrm{-}ln\left(x\right)$ dus $f\prime \left(x\right)=\mathrm{-}\frac{1}{x}$ en $f\prime \left(10\right)=\mathrm{-0,1}$.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{4x}\cdot 4=\frac{1}{x}=10$ geeft $x=\mathrm{0,1}$.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{ln(3)\cdot x}=10$ geeft $x=\frac{1}{10ln(3)}$.

$f^{\prime }(x)=5\cdot \frac{1}{ln(10)\cdot x}=\frac{5}{xln(10)}=10$ geeft $x=\frac{1}{2ln(10)}$.

$f^{\prime }(x)=50\cdot \frac{1}{2x}\cdot 2=\frac{50}{x}=10$ geeft $x=5$.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{ln(2)\cdot (50+x^2)}\cdot 2x=\frac{2x}{(50+x^2)ln(2)}=10$ geeft $2x=10ln(2)(50+x^2)$. Er zijn geen oplossingen (abc-formule).

$f(x)=2{\left(ln(3x)\right)}^{-1}$ geeft $f^{\prime }(x)=-2{\left(ln(3x)\right)}^{-2}\cdot \frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{-2}{3x{ln}^2(3x)}=10$ en dus $3x{ln}^2(3x)=\mathrm{-0,2}$. Er zijn geen oplossingen.

$h=\mathrm{-6,5}ln(\frac{p}{1020})$ geeft $h^{\prime }(p)=\frac{\mathrm{-6,5}}{pln(10)}$.

$h(900)\approx \mathrm{0,353}$ en $h^{\prime }(900)\approx \mathrm{-0,003}$.

$h^{\prime }(p)=\frac{\mathrm{-6,5}}{pln(10)}<0$ omdat $p>0$.

`text(D)_(f) = (:-2,rarr:)` en `text(D)_(g) = (:larr,0:)` .
Op het interval `[-5,3]` zie je goed het verloop van de grafieken. De `y` -waarden lopen dan van `-3` tot `3` .

`ln(2x + 4) = ln(-x)` geeft `2x + 4 = -x` en dus `x = - 4/3` .
Met de grafiek vind je `-2 < x ≤ - 4/3` .

`f'(x) = 2/(2x + 4)` en `g'(x) = 1/x` .
`f'(- 4/3) = 1,5` dus de hoek met de positieve `x` -as is `56,3` °.
`g'(- 4/3) = -0,75` dus de hoek met de positieve `x` -as is `-36,9` °.
De scherpe hoek tussen beide grafieken is `86,8` °.

Doen.

$f^{″}(x)=\frac{2ln(x)+2}{x}=0$ geeft $ln(x)=-1$ en dus $x=\frac{1}{\text{e}}$.
Het buigpunt is $(\frac{1}{e},\frac{1}{e})$ en $f^{\prime }(\frac{1}{e})=-1$. De vergelijking van de raaklijn is daarom $y=\mathrm{-}x+\frac{2}{\text{e}}$.

`f'(x) = nx^(n - 1) * ln(x) + x^(n - 1) = 0` geeft `ln(x) = -1/n` en dus `x = text(e)^(- 1/n)` .
Nu is `f(text(e)^(- 1/n)) = (-text(e))/n` en voor positieve gehele `n` is dit een getal tussen `-text(e)` en `0` .

Het snijpunt van de grafiek van alle `f_n` met de `x` -as is `(1,0)` . `f'(1) = 1` en dus is de gevraagde hoek gelijk aan `45` °.

`f"(x) = n(n - 1)x^(n - 2) * ln(x) + (2n - 1)x^(n - 2) = 0` geeft `ln(x) = (-2n + 1)/(n(n - 1))` .
Als `n = 1` heeft deze vergelijking geen oplossingen. Als `n > 1` dan is `(-2n + 1)/(n(n - 1)) < 0` en zijn er ook geen oplossingen. Geen enkele functie `f_n` heeft buigpunten.

`f_2(x) = x^2 ln(x)` en `f_2'(x) = 2x ln(x) + x` .
Raaklijn door `O(0,0)` en `P(p, p^2 ln(p))` heeft richtingscoëfficiënt `f'(p)` , dus `p^2 ln(p) = (2p ln(p) + p) * p` .
Dit geeft `p^2 ln(p) + p^2 = 0` zodat `p = 0 vv ln(p) = -1` .
Omdat `p = 0` vervalt is `p = 1/(text(e))` en `P(1/(text(e)), (-1)/(text(e)^2))` .

$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(2-x)ln(2)}$ geeft $f^{\prime }(1)=\frac{-1}{ln(2)}$ en $f(1)=0$ zodat de raaklijnvergelijking is $y=\mathrm{-}\frac{1}{ln(2)}x+\frac{1}{ln(2)}$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x}$ geeft $f^{\prime }(1)=\mathrm{1,2}$ en $f(1)=ln(5)$ zodat de raaklijnvergelijking is $y=\mathrm{1,2}x+ln(5)-\mathrm{1,2}$.

$f^{\prime }(x)=ln(2x)+1$ geeft $f^{\prime }(1)=ln(2)+1$ en $f(1)=ln(2)$ zodat de raaklijnvergelijking is $y=(ln(2)+1)x-1$.

$f^{\prime }(x)=\frac{1-ln(x)}{x^2}$ geeft $f^{\prime }(1)=1$ en $f^{}(1)=0$ zodat de raaklijnvergelijking is $y=x-1$.

$f(x)=\frac{1}{ln(x+1)}={(ln(x+1))}^{-1}$ dus $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x+1){ln}^2(x+1)}$. Dit geeft $f^{\prime }(1)=\frac{-1}{2{ln}^2(2)}$ en $f(1)=\frac{1}{ln(2)}$. De raaklijnvergelijking is $y=\frac{1}{2{ln}^2(2)}\cdot x+\frac{2ln(2)+1}{2{ln}^2(2)}$.

$f^{\prime }(x)=\frac{-2}{x^2}+\frac{1}{x}$.
$f(1)=2+ln(2)$ en $f^{\prime }(1)=-1$ dus de raaklijnvergelijking is $y=\mathrm{-}x+3+ln(2)$.

$f^{\prime }(x)=0$ geeft $x=2$. Het minimum is $f(2)=1+ln(4)$.

$f^{\prime }(x)=-1$ geeft $x^2+x-2=0$ zodat $x=-2\vee x=1$.
Omdat $x=-2$ vervalt vind je alleen $x=1$.

$(6-x)=\frac{1}{x}$ geeft $x=3\pm 2\sqrt{2}$.
De bijbehorende $y$-waarden laten zich makkelijk uitrekenen. De snijpunten zijn dan ongeveer $(\mathrm{5,83};\mathrm{-2,54})$ en $(\mathrm{0,17};\mathrm{2,54})$.

De punten $A$ en $B$ liggen beide op de verticale lijn $x=k$. Dus moet $h\left(k\right)=f\left(k\right)-g\left(k\right)$ maximaal zijn.
$h\prime \left(k\right)=\frac{1}{(6-x)}+\frac{1}{k}$ geeft $k=3$. En $h\left(3\right)=2\cdot {}^{2}log(3)$.

`y = p` geeft `6 - x = 2^p vv 1/x = 2^p` en dus `x = 6 - 2^p vv x = 1/(2^p)` . Het verschil van deze twee `x` -waarden is `l(p) = 6 - 2^p - 1/(2^p)` .

`l'(p) = -2^p ln(2) + 2^(-p) ln(2) = 0` geeft `2^p = 2^(-p)` en dus `p = 0` . We vinden max. `l(0) = 4` .

`x(ln(x) - 1) = 0` geeft `x = 0 vv x = text(e)` . Dus nulpunten `(0,0)` en `(text(e),0)` . De oorsprong is nog niet duidelijk als nulpunt, want daar bestaat de natuurlijke logaritme niet. Snijpunt met de `y` -as geeft weer de oorsprong. `f'(x) = ln(x) = 0` geeft `x = 1` en min. `f(1) = -1` .

Doen, je ziet `f(0) = 0` . Hoe dat precies zit valt buiten het bestek van de wiskunde B op vwo.

Raaklijn `y = ax - 1` geeft `x(ln(x) - 1) = ax -1 nn ln(x) = a` geeft `xln(x) - x = x ln(x) - 1` en dus `x = 1` . Het raakpunt is `(1,-1)` .

De functies `f_p` zijn te schrijven als `f_p(x) = x^2 - ln(x) - ln(p)` . Je ziet dat de functie `g(x) = x^2 - ln(x)` met `- ln(p)` in de `y` -richting verschuift. De grootte van de verschuiving wordt bepaald door `p` .

`f_p'(x) = 2x - 1/x = 0` geeft `x = +- 1/2 sqrt(2)` . `f(+- 1/2 sqrt(2)) = 1` geeft `1/2 - ln(p) +- 1/2 ln(2) = 1` en dus `p = text(e)^(1/2 +- 1/2 ln(2))` .

`f_p"(x) = 2 + 1/(x^2) > 0` voor elke waarde van `x` , dus er is geen buigpunt.

`I = 10^(-12)` geeft `L = 0` . `I = 10` geeft `L = 130` .

`L = 80` geeft `I = 10^(-4)` . Voor twee auto's is `I = 2 * 10^(-4)` en dus `L = 83,01` dB.

`77 = L_0 - 10 * log(40pi)` geeft `L_0 = 77 - 10 * log(40pi)` . Op 100 meter vind je: `L = 77 - 10log(40pi) - 10log(200pi) = 70` dB.

`L = 77 - 10log(40pi) - 10log(2pi R) = 60` geeft `17 = 10log(20/R)` en dus `R = 10^(2,7) ~~ 501,19` m.

`L = L_0 - 10 log(2pi R)` met `L(20) = 80` geeft `L_0 = 80 + 10 log(40pi)` .
Dus `L = 80 + 10 log(40pi) - 10 log(2pi R) = 80 + 10 log(20/R)` .

`f'(x) = 1/(x ln(3)) = 10` geeft `x = 1/(10 ln(3))` .

`f'(x) = (-2)/((11 - x)ln(10)) = 10` geeft `11 - x = (-2)/(10 ln(10))` en dus `x = 11 + 2/(10 ln(10))` .

`f'(x) = 1/x = 10` geeft `x = 0,1` .

Nulpunten: `f(x) = 0` geeft `x = text(e)` , dus `(text(e),0)` .
Er is geen snijpunt met de `y` -as.
Extremen: `f'(x) = (2 ln(x))/(x^2) = 0` geeft `x = 1` . Met de grafiek vind je max. `f(1) = 2` .

`f"(x) = (2 - 4ln(x))/(x^3) = 0` geeft `x = sqrt(text(e))` . Het buigpunt is `(sqrt(text(e)),4/(text(e)))` .

Raaklijn `y = ax - 1` geeft `(2 + 2 ln(x))/x = (2 ln(x))/(x^2) * x + 1` en dus `2/x = 1` zodat `x = 2` . Het bedoelde punt is `(2, 1 + ln(2))` .

`m = 6` en `I = 6` geeft `b = 6` .
`m = 1` en `I = 100` geeft `1 = a ln(100) + 6` en dus `a = (-5)/(ln(100)) ~~ -1,086` .

`m = (-5)/(ln(100)) * ln(I) + 6` en `m(73) ~~ 1,34` .

`-1,6 = (-5)/(ln(100)) * ln(I) + 6` geeft `I ~~ 1096,48` .

`m = (-5)/(ln(100)) * ln(I) + 6` geeft `m - 6 = (-5)/(ln(100)) * ln(I)` en dus `ln(I) = (6 - m)(ln(100))/(5)` . Dit geeft `I = text(e)^(0,2ln(100)(6 - m))` .

Ster 1: `m = 4,5` , dus `I = 100^(0,3)` .
Ster 2: `m = 4,7` , dus `I = 100^(0,26)` .
Dubbelster: `I = 100^(0,3) + 100^(0,26)` en `m ~~ 3,84` .