Exponentiële en logaritmische functies

Opgave 10

Bepaal $f^{'} (x)$ en stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ voor $x = 1$ .

a

$f (x) = {}^{2} log (2 - x)$

b

$f (x) = ln (x^{2} + 4 x)$

c

$f (x) = x ln (2 x)$

d

$f (x) = \frac{ln (x)}{x}$

e

$f (x) = {}^{x + 1} log (e)$

Opgave 11

Gegeven is de functie $f$ met voorschrift $f (x) = \frac{2}{x} + ln (2 x)$ .

a

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van $f$ voor $x = 1$ .

b

Bereken algebraïsch het minimum van $f$ .

c

Voor welke $x$ heeft de raaklijn aan de grafiek van $f$ een richtingscoëfficiënt van $-1$ ?

Opgave 12

Bekijk de grafieken van de functies $f (x) = {}^{2} log (6 - x)$ en $g (x) = - {}^{2} log (x)$ met domein $[0, 6]$ .

a

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van $f$ en $g$ .

Op de grafieken van $f$ en $g$ liggen punten $A$ en $B$ beide met $x$ -waarde $k$ . Neem aan dat $1 < k < 4$ .

b

Toon aan dat de lengte van $A B$ dan maximaal $2 \cdot {}^{2} log (3)$ is.

Op de grafieken van $f$ en $g$ liggen punten $C$ en $D$ beide met $y$ -waarde $p$ .

c

Toon aan dat voor de lengte $l$ van $C D$ geldt: `l(p) = 6 - 2^p - 1/(2^p)` .

d

Bereken de maximale lengte van $C D$ .

Opgave 13

Gegeven is de functie `f(x) = x(ln(x) - 1)` .

a

Bereken algebraïsch de karakteristieken van de grafiek van `f` .

b

Teken een nauwkeurige grafiek van `f` voor `0 ≤ x ≤ 3` . Laat daarin duidelijk zien hoe de grafiek van `f` er in de buurt van `(0, 0)` uitziet.

c

Er ligt een punt op de grafiek van `f` waarin de raaklijn aan die grafiek door het punt `(0, 1)` gaat. Bereken de coördinaten van dat punt.

Opgave 14

Gegeven zijn de functies `f_p` door `f_p(x) = x^2 - ln(px)` met `p > 0` .

a

Toon aan dat de grafieken van alle functies `f_p` door verschuiving in de `y` -richting uit elkaar kunnen ontstaan.

b

De grafiek van `f_p` heeft een extreme waarde van `1` . Bereken `p` .

c

Toon aan dat de grafieken van `f_p` geen buigpunt hebben.

Opgave 15Geluidsdrukniveau

Geluidsdrukniveau

Voor het geluidsdrukniveau `L` geldt de formule:

`L = 10 * log(I/(I_0))`

Hierin is `l` de geluidsintensiteit in W/m² (Watt per m2). De grootheid `L` wordt veel gebruikt om geluidshinder te meten. Hij wordt uitgedrukt in decibel (dB).

a

Bij de gehoorgrens ( `L = 0` ) is de geluidsintensiteit `10^(-12)` W/m2. Bij de pijngrens is de geluidsintensiteit `10` W/m2. Bereken het geluidsdrukniveau bij de pijngrens.

Op een bepaalde afstand produceren twee personenauto’s elk een geluidsdrukniveau van `80` dB. Nu kun je hun gezamenlijke geluidsdrukniveau niet krijgen door beide afzonderlijke geluidsdrukniveaus op te tellen. Dat kan echter wel met hun afzonderlijke geluidsintensiteiten.

b

Bereken met behulp daarvan hun gezamenlijke geluidsdrukniveau.

De geluidshinder in de buurt van een snelweg hangt onder meer af van de afstand tot die weg. Voor niet te grote afstanden (van ongeveer `20` m tot `1000` m) wordt de formule: `L = L_0 - 10 log(2pi R)` gebruikt, waarin `R` de afstand tot de as van de weg in m is en `L` het geluidsdrukniveau in dB is. `L_0` is het geluidsdrukniveau van het verkeer op de as van de weg.

c

Als op `20` m een geluidsdrukniveau van `77` dB wordt gemeten, hoe groot is dan het geluidsdrukniveau op `100` m afstand van die weg?

d

Op welke afstand van die weg is het geluidsdrukniveau `60` dB?

e

Geef de formule voor `L` als functie van R als `L(20) = 80` dB.

Verwerken