Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Logaritmische functies

123456Logaritmische functies

Voorbeeld 3

Gegeven is de functie $f$ met $f (x) = x {ln}^{2} (x)$ .

Bereken algebraïsch de extremen van $f$ .
Bereken de coördinaten van de punten op de grafiek van $f$ waarin de raaklijn evenwijdig is aan de lijn met vergelijking $y = 3 x$ .

> antwoord

Om de grafiek te kunnen tekenen stel je vast dat het domein $[0, \to 〉$ en het nulpunt $(1, 0)$ is.

De afgeleide van $f$ is: $f^{'} (x) = {ln}^{2} (x) + 2 ln (x)$ .

De extremen vind je uit $f^{'} (x) = {ln}^{2} (x) + 2 ln (x) = 0$ .
Dit geeft $ln (x) \cdot (ln (x) + 2) = 0$ , dus $ln (x) = 0 \lor ln (x) = -2$ en dus $x = 1 \lor x = e^{-2}$ .
Dus zijn de extremen min. $f (1) = 0$ en max. $f (e^{-2}) = 4 e^{-2}$ .

Voor de tweede opdracht vertaal je het gegeven in $f^{'} (x) = 3$ .
Dit geeft: ${ln}^{2} (x) + 2 ln (x) = 3$ en dus ${ln}^{2} (x) + 2 ln (x) - 3 = 0$ .
Dit levert op: $ln (x) = 3 \lor ln (x) = -1$ en dus $x = e^{3} \lor x = e^{-1}$ .
De gevraagde punten zijn $(e^{3}, 9 e^{3})$ en $(e^{-1}, e^{-1})$ .

Opgave 8

In Voorbeeld wordt de functie $f$ met $f (x) = x {ln}^{2} (x)$ bekeken.

Bepaal zelf de afgeleide van $f$ en bereken de extremen van $f$ .

Bereken het buigpunt van de grafiek van $f$ en stel een vergelijking op van de raaklijn aan die grafiek in dit buigpunt.

Opgave 9

Gegeven is de familie van functies `f_n` met het voorschrift `f_n(x) = x^n ln(x)` met `n` een positief geheel getal.

Waarom is er geen functie van deze familie waarvan de top op de lijn `y = 2` ligt?

Bereken de hoek waaronder de grafiek van elke functie `f_n` de `x` -as snijdt.

Druk de buigpunten van de grafieken van `f_n` uit in `n` . Hoeveel buigpunten heeft elke grafiek?

Op de grafiek van `f_2` ligt een punt `P` waarin de raaklijn aan die grafiek door de oorsprong van het assenstelsel gaat. Bereken de coördinaten van `P` .

verder | terug