Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Logaritmische functies

123456Logaritmische functies

Uitleg

Bekijk de applet.

De afgeleide van $f (x) = ln (x)$ kun je vinden door te gebruiken dat $e^{ln (x)} = x$ .
Bekijk de functie $g (x) = e^{ln (x)}$ .
Omdat $g (x) = e^{ln (x)} = e^{u}$ met $u = ln (x)$ is $g' (x) = e^{u} \cdot u' (x)$ .
Omdat $g (x) = x$ geldt ook $g' (x) = 1$ .
Dus is $e^{u} \cdot u' (x) = 1$ , dus $u' (x) = \frac{1}{e^{u}} = \frac{1}{e^{ln (x)}} = \frac{1}{x}$ .
Conclusie: uit $u (x) = ln (x)$ volgt $u' (x) = \frac{1}{x}$ .

De afgeleide van $f (x) = ln (x)$ is $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

Nu je de afgeleide van $f (x) = ln (x)$ hebt gevonden, kun je die van $f (x) = {}^{g} log (x)$ er uit afleiden door te gebruiken dat ${}^{g} log (x) = \frac{ln (x)}{ln (g)}$ .

Opgave 2

In de Uitleg wordt de afgeleide van $f (x) = ln (x)$ bepaald. Differentieer de volgende functies en bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $f$ voor $x = 10$ .

$f (x) = ln (5 x)$

$f (x) = 3 ln (4 - x)$

$f (x) = ln (\frac{1}{x})$

Opgave 3

Bepaal nu zelf de afgeleide van $f (x) = {}^{2} log (x)$ . Gebruik daarbij ${}^{2} log (x) = \frac{ln (x)}{ln (2)}$ .

Opgave 4

Bepaal de afgeleide van $f (x) = {}^{g} log (x)$ . (Neem aan dat $g > 0$ en $g \neq 1$ .)

verder | terug