Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Logaritmische functies

123456Logaritmische functies

Theorie

De afgeleide van de natuurlijke logaritmische functie $f (x) = ln (x)$ is $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

> bewijs

Je gebruikt de definitieformule $ln (e^{x}) = x$ .
Voor $f (x) = ln (x)$ geldt dan $f (e^{x}) = x$ .
Als je hierin links en rechts van het isgelijkteken differentieert, dan vind je $f' (e^{x}) \cdot e^{x} = 1$ , dus $f' (e^{x}) = \frac{1}{e^{x}}$ .
Vervang je hierin $e^{x}$ door een letter, bijvoorbeeld $x$ , dan staat er $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

De afgeleide van de g-logaritme $f (x) = {}^{g} log (x)$ is hieruit af te leiden door te gebruiken dat ${}^{g} log (x) = \frac{ln (x)}{ln (g)}$ .
Je vindt:

Als $f (x) = {}^{g} log (x)$ , dan is $f' (x) = \frac{1}{ln (g) \cdot x}$ .

Verder kun je nu allerlei functies waarin vormen als $ln (x)$ en/of ${}^{g} log (x)$ voorkomen differentiëren met de differentieerregels. Daarmee kun je van functies die ingewikkelder zijn dan zuiver logaritmische functies ook de karakteristieken bepalen.

verder | terug