Maak een tabel van $log\left(N\right)$ voor $t=0,1,2,3,4,5,\mathrm{...}$.

`log(K) = log(600 * 0,8^t) = log(600) + log(0,8^t) = log(600) + t * log(0,8)` .

Rechte lijn door $(0,log(600\left)\right)$ met richtingscoëfficiënt $log\left(\mathrm{0,8}\right)$.

`log(K) = log(600 * 0,8^t) = log(600) + log(0,8^t) = log(600) + t * log(0,8)` .

De grafiek van $K\left(t\right)$ wordt nu een rechte lijn door $(0,600)$, $(1,480)$, $(2,384)$, enzovoorts.
$N(t)=a\cdot g^t$ door $(\mathrm{0,5};8000)$ en $(6,400)$ geeft $a\cdot g^{\mathrm{0,5}}=8000$ en $a\cdot g^6=400$. Dit levert op $a=10500$ en $g\approx \mathrm{0,58}$, dus $N(t)=10500\cdot {\mathrm{0,58}}^t$.

Doen.

$N\left(t\right)=0$ heeft geen oplossingen, de $t$-as is een horizontale asymptoot.

Maak eerst een tabel.

`log(N_4(t)) = log(400 - 300 * 0,75^t)` . Dit kan niet herleid worden tot een lineair verband tussen `N_4` en `t` .

Zie tabel.

`t`	0	1	2	3	4	5	6
`log(N)`	1,7	1,9	2,2	2,4	2,6	2,8	3,1

Grafiek is praktisch een rechte lijn, dus exponentiële groei.

`log(N) ~~ 1,70 + 0,225t`

`N(t) ~~ 50 * 1,68^t`

`log(N) = log(20) + 1,5 * log(t)` geeft een rechte lijn door `(0,log(20))` met richtingscoëfficiënt `1,5` .

Je krijgt een rechte lijn door `(0,0)` , `(1,20)` , etc.

`log(K) = log(600 * t^(0,8)) = log(600) + log(t^(0,8)) = log(600) + 0,8 log(t)` .

Rechte lijn door `(0,0)` , `(1,600)` , etc.

Aan de machten van $10$ op horizontale en verticale as.

Kleine honden zitten bij $({10}^{\mathrm{1,1}},{10}^{\mathrm{2,4}})$.

$log(P)\approx \mathrm{2,41}-\mathrm{0,14}\cdot log(m)$ geeft $P={10}^{\mathrm{2,4}}\cdot m^{\mathrm{-0,14}}$.
(Kan ook met behulp van twee afgelezen punten.)

$P\approx 131$ passen per minuut.

Doen. Vergelijk jouw lijn met de door Excel gegeven lijn.

Grafiek op het Excelblad gaat door `(8,10)` en ongeveer door `(21,100)` . `N(t) = a * text(e)^(kt)` geeft dan `a * text(e)^(8k) = 10` en `a * text(e)^(21k) = 100` zodat `text(e)^(13k) = 100/10 = 10` en `k ~~ 0,18` . Vul je dit in één van beide vergelijkingen in, dan vind je `a ~~ 2,23` . Dus `N(t) ~~ 2,23 * text(e)^(0,18t)` . (Je kunt ook uitgaan van `N(t) = a * g^t` . Dan vind je `N(t) ~~ 2,23 * 1,19^t` .)

Maak een tabel bij de bij b gevonden functie op je grafische rekenmachine.

`N(t) = 2,23 text(e)^(0,18t) > 1000` geeft `t = (ln(1000/(2,23)))/(0,18) ~~ 33,9` . Dus na `34` dagen.

Doen, in beide gevallen liggen de punten redelijk op een rechte lijn. Je krijgt daarom een machtsfunctie `T = a * R^b` .

De grafiek moet in ieder geval door `(1,1)` .

Het antwoord bij b betekent: `a = 1` . Neem je aan dat de grafiek ook door `(30,165)` gaat dan wordt `165 = 30^b` en dus `b = (ln(165))/(ln(30)) ~~ 1,50` . Dus `T = R^(1,5)` .

`R = 38,4851` geeft volgens de formule `T ~~ 238,5` jaar.

Doen.

Zie het voorbeeld. Je kunt wel een ander punt kiezen, maar je formule zal uiteindelijk niet heel veel afwijken van die in het voorbeeld.

`N'(t) = (-350)/((1 + 174 * 0,81^t)^2) * 174 * ln(0,81) * 0,81^t` .
`N"(t) = (-350)/((1 + 174 * 0,81^t)^3) * 174 * ln^2(0,81) * 0,81^t * (174 * 0,81^(t - 1)) = 0` geeft `t ~~ 24,48` .
(Het verschil met de gevonden waarde in het voorbeeld zit hem waarschijnlijk in de afronding naar `0,81` .)

Nu wordt `20,7 = 20 + 60 * g^(20)` en ook dit geeft `g ~~ 0,80` . Je krijgt dus hetzelfde functievoorschrift.

`T'(t) = 60 * ln(0,80) * 0,80^t` en dus is `T'(10) ~~ -1,44` . De afkoelingssnelheid is ongeveer `1,44` °C/min.

De hoogteverschillen per $2$ weken zijn niet constant, dus geen lineaire groei.
Er is geen sprake van een constante groeifactor per $2$ weken, dus ook geen exponentiële groei.
Het is daarom geen van beide.

Zie de tabel hieronder. Maak bij deze tabel een grafiek.

t	2	4	6	8	10	12
log(F)	0,786	0,207	-0,296	-0,911	-1,701	-2,409

Je kunt een rechte lijn tekenen die de zes punten van de grafiek van $F$ redelijk benadert. Dus is er een lineair functievoorschrift $F(t)=at+b$. Met $F(2)=\mathrm{0,786}$ en $F(12)=\mathrm{-2,409}$ vind je een richtingscoëfficiënt van ongeveer $\mathrm{-0,32}$. En zo krijg je $F(t)\approx \mathrm{-0,32}t+\mathrm{1,43}$.

`F(t) = log((256 - H(t))/(H(t))) = -0,32t + 1,43` geeft `(256 - H(t))/(H(t)) = 10^(-0,32t + 1,43)` en dus `256 - H(t) = H(t) * 10^(-0,32t + 1,43)` . Dit levert op: `256 = H(t) * (10^(-0,32t + 1,43) + 1)` zodat `H(t) = 256/(10^(-0,32t + 1,43) + 1) = 256/(1 + 10^(-0,32t + 1,43))` .
Er is sprake van geremde exponentiële groei.

Groeisnelheid `H'(t) = (-256)/((10^(-0,32t + 1,43) + 1)^2) * 10^(-0,32t + 1,43) * ln(10) * -0,32` .
Dus `H'(1) ~~ 12,6` is kleiner dan de gemiddelde groei in de tweede week omdat de groei dan nog steeds sneller toeneemt.

`H'(10) ~~ 3,1` is groter dan de gemiddelde groei in de tiende week omdat de groei dan steeds langzamer gaat.

`H'(t)` heeft een maximum voor `t ~~ 4,47` . Dit is op dag `4` .
Je kunt dit algebraïsch berekenen met behulp van de tweede afgeleide: `H"(t) = 0` oplossen.

Doen.

De grafiek is op dubbellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn.

Je vindt iets als $a\approx 59$ en $a\approx \mathrm{0,54}$, dus $E\approx 59\cdot m^{\mathrm{0,54}}$.

$\approx 4609$ cal/km.

Er is sprake van een minteken omdat de hoeveelheid afneemt. De afnamesnelheid is recht evenredig met de hoeveelheid.

`G'(x) = -kb * text(e)^(-kx) = -k * G(x)` .

`G(6) = b * text(e)^(-0,2 * 6) ~~ b * 0,30` . `30` % van het graan is nog niet uit het stro geschud.

Hoe groter `k` , hoe meer graan er uit het stro wordt gehaald, vandaar die naam.
`v = 2` geeft `k = 0,5` .
`G(6) = b * text(e)^(-0,5 * 6) ~~ b * 0,05` . `5` % van het graan is nog niet uit het stro geschud.

Dan moet `G(6) = 0` . Dit lukt alleen als `v = 0` .

Afname `1,5` keer zo groot past niet bij een lineair proces. Afname neemt exponentieel toe, wat overblijft dus niet.

`1,0414^10 ~~ 1,5` en `3311 - 274 * 1,5 = 2900` .

In het jaar 2032.

`y'(t) = -274 * ln(1,0414) * 1,0414^t` .
Nu is `y'(0) = -274 * ln(1,0414) * 1` en `y'(10) = -274 * ln(1,0414) * 1,5` , dus het klopt.

De grafiek bij deze tabel is op dubbellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn door $(\mathrm{63,5};\mathrm{1,65})$ en $(\mathrm{225,0};\mathrm{3,00})$.

Als je de twee punten bij a invult krijg je $\mathrm{1,65}=A\cdot {\mathrm{63,5}}^a$ en $3=A\cdot {225}^a$.
Hieruit volgt $\frac{3}{\mathrm{1,65}}={\left(\frac{225}{\mathrm{63,5}}\right)}^a$ en dus $a\approx \mathrm{0,47}$.
Dit geeft $A\approx \mathrm{0,24}$.

Gegeven is `G_(text(eind)) = 0,60` en je leest af `G(0) = 0,065` . Dus `0,065 = 0,60 - b` , zodat `b = 0,535` .
Verder lees je af dat `N(20) = 2000` . Dus: `2000 = 5000text(e)^(20a)` , zodat `a ~~ -0,046` .
Ook lees je af dat `G(8) = 0,50` , zodat `0,50 = 0,60 - 0,535 * text(e)^(8c)` en `c ~~ -0,21` .
Dus `N(t) ~~ 5000 * text(e)^(-0,05t)` en `G(t) = 0,60 - 0,54 * text(e)^(-0,21t)` .

`T(t) = N(t) * G(t) = 5000 * text(e)^(-0,05t) * (0,60 - 0,54 * text(e)^(-0,21t)) = 3000text(e)^(-0,05t) - 2700text(e)^(-0,26t)` .

`T'(t) = -150text(e)^(-0,05t) + 702text(e)^(-0,26t) = 0` geeft `text(e)^(0,21t) = 702/150` en dus `t ~~ 7,35` .
Het totale gewicht aan forellen is maximaal na ongeveer `7,35` maanden.