Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Groeimodellen

123456Groeimodellen

Voorbeeld 3

In deze tabel zie je de groei van een aantal fruitvliegjes ( "Drosophila melanogaster" ). De populatie leeft in een afgesloten ruimte met voldoende voedsel. $N$ is het aantal fruitvliegjes.

$t$ (dagen)	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
$N (t)$	2	5	10	22	47	91	156	226	282	317	335	343	347

Nu lijkt er sprake van geremde exponentiële groei. $N (t)$ nadert de $350$ fruitvliegjes. Stel m.b.v. de tabel een passend geremd exponentieel groeimodel op. Bereken bij welke $t$ de groeisnelheid maximaal is.

> antwoord

De bijpassende formule wordt: $N (t) = \frac{350}{1 + b \cdot g^{t}}$ .

De grafiek gaat door $(0, 2)$ en dit geeft: $b = 174$ .
De grafiek gaat ook door $(40, 335)$ en dit geeft: $g \approx 0,81$ .

Een passende formule is: $N (t) = \frac{350}{1 + 174 \cdot {0,81}^{t}}$ .

De waarde van $t$ waarin de groeisnelheid een maximum heeft kun je vinden door de tweede afgeleide te berekenen en dan $N^{″} (t) = 0$ op te lossen. Je kunt ook gebruik maken van het feit dat die maximale groeisnelheid bereikt wordt als $N = \frac{350}{2} = 175$ . Je vindt in beide gevallen: $t \approx 23$ dagen.

Opgave 9

In Voorbeeld 3 lijkt er sprake van geremde exponentiële groei. $N (t)$ nadert de $350$ fruitvliegjes.

Teken een grafiek van $N (t)$ die zo goed mogelijk past bij de gegevens in de tabel.

Gebruik de grenswaarde van $350$ fruitvliegjes, de waarde van $N (0)$ en nog een ander geschikt punt van je grafiek om zelf een formule op te stellen voor $N (t)$ .

Bereken zelf de waarde van $t$ waarin de groeisnelheid van $N$ zo groot mogelijk is.

Opgave 10

Toon aan dat bij een functie van de vorm $N (t) = \frac{G}{1 + b \cdot g^{t}}$ de grootste groeisnelheid optreedt als $N = \frac{1}{2} G$ .

verder | terug