Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Groeimodellen

123456Groeimodellen

Voorbeeld 4

Een kop vers gezette koffie heeft een temperatuur van $80$ °C. Als je die koffie rustig laat afkoelen in een omgevingstemperatuur van $20$ °C, dan neemt (warmtewet van Newton) het temperatuursverschil met de omgeving exponentieel af: $T (t) - 20 = b \cdot g^{t}$ .

$t$ (min.)	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
$T$ (°C)	80,0	58,4	44,6	35,7	30,1	26,4	24,1	22,6	21,7	21,1	20,7	20,4	20,3

Ga uit van het beschreven groeimodel en stel een bijpassende formule op.
Bereken de snelheid van afkoelen na $5$ minuten.

> antwoord

Je gaat uit van: $T (t) - 20 = b \cdot g^{t}$ .
De grafiek gaat door $(0, 80)$ en dit geeft: $b = 60$ .
De grafiek gaat ook door $(24, 20,3)$ en dit geeft: $60 \cdot g^{24} = 0,3$ en dus $g \approx 0,80$ .
Een passende formule is: $T (t) = 20 + 60 \cdot {0,80}^{t}$ .

De afkoelsnelheid na vijf minuten is $T^{'} (5) = 60 \cdot ln (0,80) \cdot {0,80}^{5} \approx 4,39$ °C/minuut.

Opgave 11

Bekijk het afkoelingsproces van een kop koffie in Voorbeeld 4.

Ga uit van het beschreven groeimodel en stel zelf een bijpassende formule op als je aanneemt dat de grafiek door de punten `(0,80)` en `(20;20,7)` gaat.

Bereken de snelheid van afkoelen na `10` minuten.

verder | terug