Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Integralen

Overzicht

123456Integralen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Bijvoorbeeld:

Als $f (x) = e^{x}$ dan is $F (x) = e^{x} + c$ .
Als $f (x) = g^{x}$ dan is $F (x) = \frac{g^{x}}{ln (g)} + c$ .

Controleer ze door differentiëren.

Omdat de afgeleide van $F (x) = ln (x) + c$ gelijk is aan $f (x) = F^{'} (x) = \frac{1}{x}$ . Maar dit geldt alleen als $x > 0$ .
De functie $f (x) = \frac{1}{x}$ bestaat echter ook als $x < 0$ . Dan is $F (x) = ln (- x) + c$ een geschikte primitieve.

Opgave 2

`F'(x) = 1/(ln(g)) * g^x * ln(g) = g^x` .

Als `f(x) = text(e)^x` dan is `F(x) = 1/ln(text(e)) * text(e)^x + c = text(e)^x + c` .

`int_0^2 h(x) text(d)x = [2x + 0,5text(e)^(2x) * 2]_(0)^(2) = [2x + text(e)^(2x)]_(0)^(2) = 3 + text(e)^4` .

De oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van `h` , de `x` -as en de lijnen `x = 0` en `x = 2` .

Opgave 3

`F'(x) = 1/x` als `x > 0` en `F'(x) = 1/x` als `x < 0` .

$G (x) = 4 \ln | x + 2 | + c$ .

$H (x) = 4 \ln | 2 x + 4 | \times \frac{1}{2} + c = 2 \ln | 2 x + 4 | + c$ .

Opgave 4

`F'(x) = 1 * ln(x) + x * 1/x - 1 = ln(x)` .

Gebruik $f (x) = \frac{ln (x)}{ln (g)} = \frac{1}{ln (g)} \cdot ln (x)$ . Je vindt dan `F(x) = 1/(ln(g)) * (x ln(x) - x) + c` .

Opgave 5

`F(x) = text(e)^(x + 1) + c`

`F(x) = 5x + 3 ln(2) * 2^(4x) * 1/4 = 5x + 3/4 ln(2) * 2^(4x)`

$F (x) = x^{2} + \ln | x | + c$

`F(x) = 1,5 ln(2x + 1) + c`

`F(x) = (3x ln(3x) - 3x) * 1/3 + c = x ln(3x) - x + c`

`F(x) = 2 text(e)^(-4x) * - 1/4 + c = - 1/(2 text(e)^(-4x)) + c`

Opgave 6

`int_ 0^2 3/(3x + 4) text(d)x = [ln|3x + 4|]_(0)^(2) = ln(10) - ln(4)` .

`int_0^4 0,5^(2x - 1) text(d)x = [1/2 ln(0,5) 0,5^(2x - 1)]_(0)^(4) = 1/2 ln(0,5) 0,5^7 - 1/2 ln(0,5) 0,5^(-1)` .

`int_1^2 (x^4 + 5x^2)/(x^3) text(d)x = int_1^2 (x + 5/x) text(d)x = [0,5x^2 + 5ln|x|]_(1)^(2) = 1,5 + 5 ln(2)` .

`int_(0,25)^(text(e)) ln(4x) text(d)x = [x ln(4x) - x]_(0,25)^(text(e)) = text(e) ln(4text(e)) - text(e) + 0,25` .

Opgave 7

Doen.

`int_0^2 text(e)^x text(d)x = [text(e)^x]_(0)^(2) = text(e)^2 - 1` .

Het vlakdeel is precies het spiegelbeeld van het vlakdeel waarvan in het voorbeeld de omtrek is uitgerekend. Je spiegelt in de lijn `y = x` .

Opgave 8

Doen.

`int_0^2 pi text(e)^(2x) text(d)x = [1/2 pi text(e)^(2x)]_(0)^(2) = 1/2 pi (text(e)^(4) - text(e)^2)` .

`pi * 2^2 * 1 + int_(1)^(text(e)^2) pi ln^2(y) text(d)y ~~ 52,71` .

Opgave 9

Doen.

`1 + 2 + text(e)^2 + int_0^2 sqrt(1 + text(e)^(2x)) text(d)x ~~ 17,18` .

Het vlakdeel is precies het spiegelbeeld van het vlakdeel waarvan in het voorbeeld de omtrek is uitgerekend. Je spiegelt in de lijn `y = x` .

Opgave 10

`f(x) = 2 1/2` geeft `x = 1/2 vv x = 2` .
De oppervlakte is `2 1/2 - int_(0,5)^2 (x + 1/x) text(d)x = 2 1/2 - [1/2x^2 + ln(x)]_(0,5)^(2) = 5/8 - 2ln(2)` .

De inhoud is `int_(0,5)^2 pi * (2,5)^2 text(d)x - int_(0,5)^2 pi (x + 1/x)^2 text(d)x = [6,25pi x]_(0,5)^(2) - [pi (1/3x^3 + 2ln(x) - 1/x)]_(0,5)^(2) = 7,25pi - 4 ln(2) - 1,5` .

De omtrek is `1 1/2 + int_(0,5)^2 sqrt(1 + (1 - 1/(x^2))^2) text(d)x ~~ 3,40` .

Opgave 11

`[1/2 ln|2x + 1|]_(0)^(1) = 1/2 ln(3)` .

`[1/(2text(e) + 1) * x^(2text(e) + 1) - 1/2 text(e)^(2x)]_(0)^(1) = 1/(2text(e) + 1) - 1/2 text(e)^2 + 1/2` .

`[x ln|4x| - x]_(0,25)^(1) = ln(4) - 0,75` .

`[1/2 x + 2 ln|x|]_(1)^(4) = 1,5 + 2 ln(4)` .

`[2x + (10)/(ln(10)) * 10^(0,5x)]_(0)^(1) = 2 + (10)/(ln(10))(sqrt(1) - 1)` .

${[\frac{1}{\ln (10)} \times (x \ln | 3 x | - x)]}_{1}^{2} = \frac{1}{\ln (10)} \times (2 \ln (6) - 1)$ .

Opgave 12

`F(x) = 0,5text(e)^(-1/2x) + text(e)x - 0,5` .

$F (x) = x - \frac{1}{\ln (10)} \times (x \ln | x | - x) - 1 - \frac{1}{\ln (10)}$ .

Opgave 13

`opp(V) = int_2^4 1/2x - 2/x text(d)x = [1/4 x^2 - 2ln|x|]_(2)^(4) = 3 - 2 ln(2)` .

`l(V) = 2 + 1,5 + int_2^4 sqrt(1 + (1/2 + 1/(x^2))^2) text(d)x ~~ 5,96` .

`I(V) = int_2^4 pi(1/2x - 2/x)^2 text(d)x = pi int_2^4 1/4x^2 - 2 + 4/(x^2) text(d)x = pi[1/12 x^3 - 2x - 4/x]_(2)^(4) = 1 2/3 pi` .

Opgave 14

Doen, gebruik de quotiëntregel.

`opp(V) = int_0^2 g(x) text(d)x = [(2text(e)^x)/(text(e)^x + 1)]_(0)^(2) = (2text(e)^2)/(text(e)^2 + 1) - 1` .

`[(2text(e)^x)/(text(e)^x + 1)]_(-a)^(a) = (2text(e)^a)/(text(e)^a + 1) - (2text(e)^(-a))/(text(e)^(-a) + 1)` .
Herleiden: `(2text(e)^a)/(text(e)^a + 1) - (2text(e)^(-a))/(text(e)^(-a) + 1) * (text(e)^a)/(text(e)^a) = (2text(e)^a - 2)/(text(e)^a + 1) = 1` geeft `text(e)^x = 3` en dus `x = ln(3)` .

Opgave 15

Differentieer `F(x)` en laat zien dat `F'(x) = f(x)` .

`opp(V_1) = [-0,5 text(e)^(-x^2)]_(0)^(2) = 1/2 - 1/(2text(e)^4)` .

`opp(V_1) = [-0,5p text(e)^(-x^2)]_(0)^(2) = (1/2 - 1/(2text(e)^4)) * p = 10` geeft `p = (20text(e)^4)/(text(e)^4 - 1)` .

Opgave 16

`[ln|x| + text(e)^x]_(1)^(2) = 2ln(2) + text(e)^2 - text(e)` .

`[x + text(e)^x]_(0)^(1) = text(e)` .

`[2ln|2x + 3|]_(1)^(2) = 2ln(1,4)` .

`[x - 6 ln|x| - 9/x]_(1)^(2) = 5,5 - 6ln(2)` .

`[(x - 1)ln(x - 1) - (x - 1)]_(2)^(4) = 3ln(3) - 2` .

`[1/(3ln(2)) * 2^(3x)]_(0)^(2) = (2^6 - 1)/(3ln(2))` .

Opgave 17

`int_0^6 text(e)^(x/3) - 2x + 5 text(d)x - 1/2 * 5 * 2,5 = [3text(e)^(x/3) - x^2 + 5x]_(0)^(6) - 6,25 = 3text(e)^2 - 15,25` .

Opgave 18

`f'(x) = text(e)^(x) - text(e)^(-x) = 0` geeft `text(e)^(2x) = 1` en dus `x = 0` . Min. `f(0) = 2` .

`f(x) = 4` geeft `text(e)^(x) + text(e)^(-x) = 4` en dus `text(e)^(2x) - 4text(e)^(x) + 1 = 0` en `text(e)^x = (4 +- sqrt(12))/2 = 2 +- sqrt(3)` . Oplossing: `ln(2 - sqrt(3)) < x < ln(2 + sqrt(3))` .

`opp(V) = 4 * 2ln(2 + sqrt(3)) - int_(ln(2 - sqrt(3)))^(ln(2 + sqrt(3))) text(e)^(x) + text(e)^(-x) text(d)x = 8ln(2 + sqrt(3)) - [text(e)^(x) - text(e)^(-x)]_(ln(2 - sqrt(3)))^(ln(2 + sqrt(3))) = 8ln(2 + sqrt(3)) - 4sqrt(3)` .

`I = pi * 4^2 * 2ln(2 + sqrt(3)) - int_(ln(2 - sqrt(3)))^(ln(2 + sqrt(3))) pi(text(e)^(x) + text(e)^(-x))^2 text(d)x = 32pi ln(2 + sqrt(3)) - [1/2 e^(2x) + 2x - 1/2 e^(-2x)]_(ln(2 - sqrt(3)))^(ln(2 + sqrt(3)))` .

verder | terug