Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Integralen

123456Integralen

Uitleg

Uit de afgeleiden van de exponentiële en de logaritmische functies kun je een hele lijst met primitieven samenstellen.

Als $f (x) = e^{x}$ dan is $f' (x) = e^{x}$ .
Dus: als $f (x) = e^{x}$ dan is $F (x) = e^{x} + c$ .
Als $f (x) = g^{x}$ dan is $f' (x) = ln (g) \cdot g^{x}$ .
Dus: als $f (x) = g^{x}$ dan is $F (x) = \frac{g^{x}}{ln (g)} + c$ .
Als $f (x) = ln (x)$ dan is $f' (x) = \frac{1}{x}$ (met $x > 0$ ).
Dus: als $f (x) = \frac{1}{x}$ (met $x > 0$ ) dan is $F (x) = ln (x) + c$ .
Is echter $x < 0$ dan is $f (x) = - \frac{1}{- x}$ .
De primitieve is dan $F (x) = - ln (- x) \cdot -1 + c = ln (- x) + c$ .
Dit kun je samenvatten tot: als $f (x) = \frac{1}{x}$ dan is $F (x) = ln (| x |) + c$ .
Hierin worden de haakjes van de ln-functie vaak weggelaten!

Moeilijker is het vinden van de primitieve van $f (x) = ln (x)$ .
Maar je kunt wel bewijzen dat $F (x) = x ln (x) - x + c$ als afgeleide heeft: $F^{'} (x) = ln (x)$ .
En dan heb je toch een geschikte primitieve gevonden.
Vervolgens is $f (x) = {}^{g} log (x)$ ook niet moeilijk meer te primitiveren...

Opgave 2

Bekijk de Uitleg . Er worden primitieven bepaald van exponentiële en logaritmische functies.

Als `f(x) = g^x` dan is `F(x) = 1/(ln(g)) * g^x + c` . Laat zien dat dit klopt door `F` te differentiëren.

Leid de primitieve van `g(x) = text(e)^x` af uit die van `f(x) = g^x` .

Neem nu de functie `h(x) = 2 + 0,5text(e)^(2x)` .

Bereken `int_0^2 h(x) text(d)x` .

Wat heb je met de integraal uit c uitgerekend?

Opgave 3

In de Uitleg wordt verteld dat $F (x) = \ln | x | + c$ de primitieve is van `f(x) = 1/x` .

Laat met behulp van differentiëren zien dat dit juist is.

Welke primitieve heeft `g(x) = 4/(x + 2)` ?

Welke primitieve heeft `h(x) = 4/(2x + 4)` ?

Opgave 4

In de Uitleg wordt verteld dat `F(x) = xln(x) - x + c` de primitieve is van `f(x) = ln(x)` .

Laat met behulp van differentiëren zien dat dit juist is.

Welke primitieve heeft $f (x) = {}^{g} log (x)$ ?

verder | terug