Bacteriën planten zich voort door tweedeling. Elke bacterie brengt twee nieuwe bacteriën voort door zich te delen. Bij een geschikte constante temperatuur kan de groei van het aantal bacteriën als volgt verlopen:

Het aantal bacteriën wordt elk uur twee keer zo groot. Dat zie je door opeenvolgende waarden in de tabel op elkaar te delen:
$\frac{1200}{600}=\frac{2400}{1200}=\frac{4800}{2400}=\frac{9600}{4800}=\frac{19200}{9600}=2$

Je moet dus steeds met factor $2$ vermenigvuldigen om het volgende aantal te vinden:

• op tijdstip $0$ zijn er $600$ bacteriën;

• na $1$ uur zijn er $600\cdot 2$ bacteriën;

• na $2$ uur zijn er $600\cdot 2\cdot 2$ bacteriën;

• na $3$ uur zijn er $600\cdot 2\cdot 2\cdot 2=600\cdot 2^3$ bacteriën;

enzovoort. Het aantal bacteriën groeit exponentieel met groeifactor $2$ per uur.

Voor het aantal bacteriën $B$ na $t$ uur geldt in dit geval de formule B(t) = 600 · 2^t.
Je ziet dat er machten worden gebruikt voor het herhaaldelijk vermenigvuldigen. In dit geval zijn het machten met grondtal 2, dit getal is de groeifactor per uur. Omdat de variabele $t$ in de exponent zit, spreek je van exponentiële groei.

Voor het aantal bacteriën $B$ na $t$ uur geldt de formule $B(t)=600\cdot 2^t$.
Door te denken aan bacteriegroei en deze functie $B(t)$ kun je een aantal rekenregels voor machten afleiden.

• Allereerst heb je op $t=0$ volgens de formule $600\cdot 2^0$ bacteriën. Omdat je weet dat dit precies $600$ moet zijn is: $2^0=1$.

• Na $3$ uur heb je $600\cdot 2^3$ en $4$ uur later $600\cdot 2^3\cdot 2^4$. Dit is het aantal bacteriën na $7$ uur, dus $600\cdot 2^7$. Conclusie: $2^3\cdot 2^4=2^7$. Als je machten vermenigvuldigt tel je de exponenten op.

• Na $7$ uur heb je $600\cdot 2^7$ en $4$ uur eerder $600\cdot 2^7/2^4$. Dit is het aantal bacteriën na $3$ uur, dus $600\cdot 2^3$. Conclusie: $2^7/2^4=2^3$. Als je machten deelt trek je de exponenten af.

• De groeifactor per uur is $2$. Per drie uur is die groeifactor $2^3=8$.
  Het aantal bacteriën na $12$ uur kun je op twee manieren berekenen: $600\cdot 2^{12}$ of $600\cdot 8^4$. Dus moet ${(2^3)}^4=2^{12}$. Bij machten van machten vermenigvuldig je de exponenten.

Deze rekenregels gelden heel algemeen voor alle grondtallen en exponenten. Alleen met grondtal $0$ moet je voorzichtig zijn...