Exponentiële functies

Exponentiële functies > Meer exponentiële functies

123456Meer exponentiële functies

Voorbeeld 2

Gegeven de functie $g$ met voorschrift $g (x) = 16 - 2 \cdot 2^{- x + 1}$ .

Laat zien hoe deze functie door transformatie kan ontstaan uit een basisfunctie van de vorm $y = g^{x}$ .
Los op: $g > 0$ .

> antwoord

Eerst herschrijven:
$g (x) = 16 - 2 \cdot 2^{- x + 1} = -2 \cdot 2^{- x} \cdot 2^{1} + 16 = -4 \cdot {(2^{-1})}^{x} + 16 = 4 \cdot {0,5}^{x} + 16$

De grafiek van de functie $g (x) = 4 \cdot {0,5}^{x} + 16$ kan ontstaan door transformatie van $y = {0.5}^{x}$ :

vermenigvuldiging in de $y$ -richting met $-4$ ;
verschuiving in de $y$ -richting van $16$ eenheden.

Voor het oplossen van $g (x) = 0$ is het oorspronkelijke voorschrift handiger:
$16 - 2 \cdot 2^{- x + 1} = 0$ geeft: $16 = 2 \cdot 2^{- x + 1}$ .
Nu is $16 = 2^{4}$ en $2 = 2^{1}$ , dus staat hier: $2^{4} = 2^{- x + 2}$ .
Dit betekent dat: $4 = - x + 2$ zodat $x = -2$ .

Uit de grafiek volgt de oplossing van de ongelijkheid: $x < -2$ .

Opgave 5

De grafiek van de functie $f (x) = 2 \cdot 2^{x + 1} - 1$ kun je door transformatie uit de grafiek van de functie $g (x) = 2^{x}$ laten ontstaan.

Je kunt dit doen door drie transformaties toe te passen. Welke drie? Schrijf ze in de juiste volgorde op.

Je kunt ook eerst het functievoorschrift van $f$ herschrijven tot $f (x) = 4 \cdot 2^{x} - 1$ . Zie Voorbeeld 2.

Leg uit hoe dat in zijn werk gaat.

Beschrijf nu hoe je door transformatie in twee stappen de grafiek van $f$ kunt laten ontstaan uit die van $g$ .

Het punt $(0, 1)$ op de grafiek van $g$ wordt na de transformaties een punt op de grafiek van $f$ . Bereken de coördinaten van dit punt.

Schrijf nu de horizontale asymptoot en het domein en het bereik van $f$ op.

Opgave 6

Je hebt allerlei technieken geleerd om vergelijkingen algebraïsch op te lossen. In dit hoofdstuk moet je vaak ook werken met de rekenregels voor machten. Hier zie je daarvan een voorbeeld:

$4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{1 - x} - 2 \sqrt{2}$	$=$	$6 \sqrt{2}$
$4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{1 - x}$	$=$	$8 \sqrt{2}$
${(\frac{1}{2})}^{1 - x}$	$=$	$2 \sqrt{2}$
${(2^{-1})}^{1 - x}$	$=$	$2^{1 \frac{1}{2}}$
$2^{x - 1}$	$=$	$2^{1 \frac{1}{2}}$
$x - 1$	$=$	$1 \frac{1}{2}$
$x$	$=$	$2 \frac{1}{2}$

Leg stap voor stap uit wat er gebeurt.

Los zelf deze vergelijking algebraïsch op: $4 \cdot 3^{x} + 6 = 330$

Los algebraïsch op: $\sqrt{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{x + 1} = 27 \sqrt{6}$

Opgave 7

Los de ongelijkheid $40 \cdot {(\frac{1}{3})}^{x} + 100 = 110$ op.
Vereenvoudig de vergelijking eerst zover mogelijk en gebruik pas daarna als dat nodig is de grafische rekenmachine.

verder | terug