Een algemene vorm voor een kwadratische functie is .
Nu zie je aan het functievoorschrift niet meteen hoe hij door transformatie
uit de machtsfunctie kan ontstaan.
Dat is lastig als je de top en de nulpunten van de bijbehorende parabool wilt vinden.
Door kwadraat afsplitsen kun je de functie omzetten naar de vorm: waarin de top van de grafiek is.
Je gebruikt daarbij de eigenschap:
Controleer met de applet dat dezelfde functie is als .
Natuurlijk is het handig als je met behulp van kwadraat afsplitsen omzet naar de vorm waarin je de top en de symmetrieas zo kunt aflezen...
Wiskundigen hebben al lang geleden de abc-formule afgeleid.
Daarmee kun je de vergelijking oplossen en zo de nulpunten van de kwadratische functie berekenen. De gevonden oplossing
is:
Hieronder zie je een bewijs van de abc-formule. Dat wil zeggen dat je aantoont dat de formule in alle gevallen klopt. Je gaat daartoe in algemene zin oplossen met behulp van kwadraat afsplitsen.
Neem aan dat (anders is het ook geen kwadratische vergelijking!). Je kunt dan aan beide kanten van het is gelijkteken delen door . Dat geeft:
Een kwadraat afsplitsen levert op:
en
Worteltrekken:
En nu een beetje herleiden:
En hiermee is de abc-formule gevonden.
De uitdrukking die onder het wortelteken staat heet de discriminant van de kwadratische vergelijking. Omdat alleen de wortel uit een positief getal of een reëel getal oplevert, bepaalt die discriminant het aantal oplossingen van de vergelijking:
en er zijn twee oplossingen;
en er is één oplossing (twee dezelfde);
en er zijn geen reële oplossingen;