Periodieke functies

Periodieke functies > Periodiciteit

1234567Periodiciteit

Voorbeeld 3

Bekijk de applet.

Je bekijkt een wiel dat in $10$ seconden ronddraait.
Punt $A$ is helemaal rechts op het tijdstip $t = 0$ . Gegeven is dat de straal $M A$ van het wiel $100$ centimeter is. De hoogte $h (t)$ van punt $A$ meet je ten opzichte van de as van het wiel, zodat op tijdstip $t = 0$ de hoogte ook $0$ cm is.

Hoe hoog is het punt op tijdstip $t = 42$ ?

> antwoord

$h (t)$ heeft een periode van $10$ . Dus is de hoogte op $t = 42$ hetzelfde als de hoogte op $t = 2$ .

Punt $A$ heeft dan $\frac{2}{10}$ van de cirkel doorlopen en is dus $\frac{2}{10} \cdot 360 ° = 72 °$ gedraaid.

Voor het berekenen van de hoogte heb je de sinus nodig:

$\sin (72 °) = \frac{h}{100}$ en dus: $h = 100 \cdot sin (72 °) \approx 95,1$ cm.

Dus is op $t = 42$ de hoogte ongeveer $95$ cm.

Opgave 7

Bestudeer Voorbeeld 3 over het ronddraaiende punt $A$ .

Bereken de hoogte $h$ als $t = 1$ .

Hoe groot is $h$ als $t = 31$ ?

Bereken de hoogtes voor de gehele waarden van $t$ vanaf $0$ tot en met 10. Teken een grafiek van $h$ als functie van $t$ .

Hoe ziet de grafiek er uit als de waarden van $t$ vanaf $0$ tot en met $100$ lopen?

Opgave 8

Hier zie je een punt $P$ op de tip van een rotorblad van een ronddraaiende windmolen. Hieronder is de grafiek van de functie $h (t)$ getekend, waarin $h$ de hoogte van punt $P$ boven de grond in meter voorstelt en $t$ de tijd in seconden is.

Met welke periode draait het rotorblad van de windmolen? Met welke frequentie (omwentelingen per minuut) draait het rotorblad?

Hoe hoog zit de as van de windmolen boven de grond? En hoe lang is het rotorblad?

De wind neemt toe, de windmolen gaat twee keer zo snel draaien. Teken de bijbehorende grafiek.

Teken ook de grafiek van de hoogte van de tip van één van de twee andere rotorbladen.

Opgave 9

Een punt $P$ beweegt linksom over een cirkel met straal $1$ om de oorsprong $O$ van een $O x y$ -assenstelsel. De afstand $a$ die het punt heeft afgelegd hangt af van de hoek $α$ waarover $O P$ is gedraaid. Neem aan dat $a = 0$ als $α = 0$ .

Hoeveel is $a (90 °)$ ? En $a (180 °)$ ? (Geef exacte waarden.)

Leg uit waarom je nu te maken krijgt met hoeken die groter zijn dan $180 °$ . Leg ook uit waarom de draaihoek zelfs groter kan zijn dan $3690 °$ .

Wat zou een draaihoek van $-60 °$ betekenen?

Bepaal nu $a (360 °)$ , $a (450 °)$ , $a (60 °)$ en $a (-30 °)$ .

Hoeveel is $a (1 °)$ ?

Is $a (α)$ een periodieke functie? Licht je antwoord toe.

verder | terug