Periodieke functies

Periodieke functies > Radialen

1234567Radialen

Uitleg

Bekijk de applet: Sinus

Hier zie je een punt dat linksom (tegen de klok in) draait over een cirkel met straal $1$ , een eenheidscirkel. Straal $O P$ maakt een hoek $α$ met de horizontale as. De hoogte $h$ van punt is rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek. Deze hoogte is te berekenen met behulp van goniometrie: $sin (α) = \frac{h}{1} = h$ . Dit is precies de $y$ -coördinaat van punt $P$ : $y_{P} = sin (α)$ .

De driehoek is alleen te gebruiken zolang $α < 90 °$ . Maar het punt draait gewoon door, evenals de hoek. Op deze manier wordt de sinus gedefinieerd voor hoeken van $90 °$ en groter. Je ziet dat voor sommige hoeken de sinus een negatief getal kan zijn!
Het punt kan ook rechtsom (met de klok mee) draaien, je krijgt dan negatieve hoeken. De sinus van zo’n negatieve hoek kan weer positief of negatief zijn.

In de sinusgrafiek die ontstaat is $x$ niet de hoek $α$ in graden, maar de lengte van de bijbehorende cirkelboog. Deze cirkelboog is ook een maat voor hoek $α$ , dan is $α$ in radialen uitgedrukt: $α = x$ radialen. Dus dit is de grafiek van $h = sin (x)$ met $x$ in radialen. En $x$ loopt vanaf $0$ tot $2 π$ (de omtrek van de eenheidscirkel).

Je kunt ook over grotere hoeken draaien, of juist in de tegenovergestelde richting (met de wijzers van de klok mee). Zo krijg je positieve hoeken (linksom draaien) en negatieve hoeken (rechtsom draaien). De grafiek van $h = sin (x)$ gaat zich dan eindeloos herhalen, zowel naar rechts als naar links. De hoeken worden vanaf nu gemeten in radialen: $2 π$ rad komt overeen met $360 °$ . De periode van deze standaardsinusoïde is daarom $2 π$ .

Opgave 2

Bekijk de Uitleg . Daarin zie je hoe je in een eenheidscirkel de lengte van de boog als maat voor een hoek gebruikt. Je zegt dan dat de hoek $α$ is uitgedrukt in radialen.
Teken een eenheidscirkel (een cirkel met een straal van $1$ eenheid).

Teken $P$ als de draaihoek $α = 30 °$ . Bereken de bijbehorende waarde van $h$ . Hoeveel radialen is $α$ ?

Teken $P$ als de draaihoek $α = 150 °$ . Bereken $h$ . Hoeveel radialen is $α$ ?

Teken $P$ als de draaihoek $α = 210 °$ . Bereken $h$ . Hoeveel radialen is $α$ ?

Teken $P$ als de draaihoek $α = 270 °$ . Bereken $h$ . Hoeveel radialen is $α$ ?

Hoeveel radialen hoort er bij $360 °$ ?

Bij welke draaihoeken is $h = 1$ ? Geef je antwoord in graden en daarna in radialen.

Opgave 3

Teken met je grafische rekenmachine de grafiek van $y = sin (x)$ . Neem $x$ in graden en stel het venster zo in dat $-360 \leq x \leq 720$ en $- 1,5 \leq y \leq 1,5$ .

Hoeveel periodes van de sinusgrafiek krijg je zo in beeld?

Bereken $sin (30 °)$ en $sin (390 °)$ . Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.

Bereken $sin (30 °)$ en $sin (150 °)$ . Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.

Bij welke waarden van $x$ vind je dezelfde uitkomst als $sin (30000 °)$ ?

Bij welke waarden van $x$ vind je dezelfde uitkomst als $sin (-10000 °)$ ?

Opgave 4

Teken met je grafische rekenmachine de grafiek van $y = sin (x)$ . Neem $x$ in radialen en stel het venster zo in dat $-2 π \leq x \leq 6 π$ en $-1,5 \leq y \leq 1,5$ .

Hoeveel periodes van de sinusgrafiek krijg je zo in beeld?

Bereken $sin (1)$ en $sin (1 + 2 π)$ . Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.

Bereken $sin (1)$ en $sin (π - 1)$ . Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.

Bij welke waarden van $x$ vind je dezelfde uitkomst als $sin (211,5 π)$ ?

Bij welke waarden van $x$ vind je dezelfde uitkomst als $sin (-1500 π)$ ?

verder | terug